Inequação do Primeiro Grau: Guia para Concursos

Trocar de lado um termo com sinal negativo é a conta que mais derruba quem já sabe resolver equação, mas nunca aprendeu a regra extra da inequação.

Inequação do primeiro grau é uma desigualdade entre duas expressões que envolve uma incógnita elevada a 1, usando os sinais maior, menor, maior ou igual e menor ou igual no lugar do sinal de igual. A solução não é um único número, e sim um intervalo de valores que deixa a desigualdade verdadeira, e a regra que mais pesa na prova é inverter o sinal da desigualdade sempre que se multiplica ou divide os dois lados por um número negativo.

• O que é inequação do primeiro grau?
• Quais são os tipos de inequação do primeiro grau?
• Como resolver uma inequação do primeiro grau: regras e tabela.
• Exercício resolvido: dois problemas comentados de concurso.
• Quais são os erros mais comuns ao resolver inequação do primeiro grau?
• Como representar a solução na reta numérica?
• Resumo: equação versus inequação do primeiro grau.
• Perguntas frequentes:

O que é inequação do primeiro grau?

Inequação do primeiro grau é uma expressão com uma incógnita de expoente 1, ligada por um sinal de desigualdade: maior que, menor que, maior ou igual, ou menor ou igual. Diferente da equação, que tem uma solução exata, a inequação tem como resposta um conjunto de valores, chamado de intervalo ou conjunto solução.

Esse conteúdo depende diretamente de saber resolver equação do primeiro grau, porque os passos de isolar a incógnita são os mesmos, com uma única regra extra sobre o sinal da desigualdade. Também aparece dentro de matemática para concurso de nível médio, como um dos tópicos de álgebra básica mais cobrados.

Quais são os tipos de inequação do primeiro grau?

A prova costuma variar o sinal da desigualdade e a forma como a incógnita aparece na expressão.

Inequação simples:

Tem a incógnita de um lado só e um número do outro, depois de resolvida. Exemplo: 2x - 4 maior que 6 tem como solução x maior que 5.

Inequação com incógnita nos dois lados:

Tem a incógnita presente nos dois lados da desigualdade antes de ser resolvida, exigindo reunir os termos semelhantes primeiro. Exemplo: 5x + 2 menor que 3x + 10 se resolve reunindo x de um lado e número do outro, chegando a x menor que 4.

Inequação com coeficiente negativo:

Exige inverter o sinal da desigualdade ao isolar a incógnita, porque o coeficiente que multiplica x é negativo. Exemplo: -2x + 6 menor ou igual a 0 se resolve isolando x e invertendo o sinal, chegando a x maior ou igual a 3.

Essa divisão por tipo também aparece em equação do segundo grau e Bhaskara, outro conteúdo em que o sinal dos coeficientes decide o caminho de resolução. Na prova, o mais comum é a inequação vir embutida em um texto, não já escrita em símbolos, então o primeiro trabalho é identificar qual expressão numérica corresponde a maior, menor, no mínimo ou no máximo antes mesmo de montar a conta.

Como resolver uma inequação do primeiro grau: regras e tabela.

As operações em uma inequação seguem quase as mesmas regras de uma equação, com uma diferença que decide a prova inteira: o que acontece com o sinal da desigualdade.

Operação nos dois lados	O que acontece com o sinal	Exemplo
Somar ou subtrair um número	O sinal da desigualdade não muda.	x + 3 maior que 5 vira x maior que 2.
Multiplicar ou dividir por número positivo	O sinal da desigualdade não muda.	2x maior que 8 vira x maior que 4.
Multiplicar ou dividir por número negativo	O sinal da desigualdade inverte.	-2x maior que 8 vira x menor que -4.

Vale revisar matemática financeira para concurso, porque problemas de lucro mínimo e de custo máximo costumam ser resolvidos justamente com uma inequação do primeiro grau. Também vale revisar porcentagem, porque é comum a prova misturar um aumento ou desconto percentual dentro do enunciado antes de pedir a inequação final.

Exercício resolvido: dois problemas comentados de concurso.

Os dois exercícios abaixo seguem o formato mais comum de prova de concurso e são adaptados, sem vínculo com uma banca, um órgão ou um ano específico.

Exercício 1, nível básico:

Resolva a inequação 2x menos 4 maior que 6 e indique o conjunto solução.

Passo 1: some 4 aos dois lados da desigualdade. 2x menos 4 mais 4 maior que 6 mais 4 resulta em 2x maior que 10.

Passo 2: divida os dois lados por 2, um número positivo, então o sinal não muda. 2x dividido por 2 maior que 10 dividido por 2 resulta em x maior que 5.

Resposta: o conjunto solução é todo número x maior que 5.

Exercício 2, nível de prova:

Uma empresa paga R$ 50 fixos mais R$ 8 por hora de serviço prestado. A partir de quantas horas o valor total pago ultrapassa R$ 130.

Passo 1: chame de h o número de horas e monte a inequação 50 mais 8h maior que 130.

Passo 2: subtraia 50 dos dois lados. 8h maior que 130 menos 50 resulta em 8h maior que 80.

Passo 3: divida os dois lados por 8, um número positivo, então o sinal não muda. h maior que 80 dividido por 8 resulta em h maior que 10.

Resposta: o valor total ultrapassa R$ 130 a partir de mais de 10 horas de serviço, ou seja, a partir da undécima hora.

Quais são os erros mais comuns ao resolver inequação do primeiro grau?

A inequação usa as mesmas contas de uma equação do primeiro grau, então o erro quase nunca está na álgebra isolada, está no momento de decidir se o sinal da desigualdade precisa ou não inverter. Os pontos abaixo reúnem onde a banca mais cobra esse detalhe.

• Esquecer de inverter o sinal da desigualdade ao multiplicar ou dividir os dois lados por um número negativo.
• Inverter o sinal sem necessidade, ao multiplicar ou dividir por um número positivo.
• Confundir o sinal maior ou igual com o sinal maior estrito ao escrever o conjunto solução final.
• Somar os termos semelhantes errado quando a incógnita aparece nos dois lados da inequação.
• Esquecer de representar corretamente se o extremo do intervalo entra ou não na solução.
• Tratar o problema de desigualdade (ultrapassar, no mínimo, no máximo) como se fosse uma equação comum, perdendo a condição de intervalo.

Como representar a solução na reta numérica?

Depois de isolar a incógnita, a solução de uma inequação do primeiro grau se desenha na reta numérica como uma seta que começa no número encontrado e segue para a direita (quando a incógnita é maior) ou para a esquerda (quando é menor). Quando o sinal é estrito (maior ou menor, sem o igual), o ponto inicial fica em aberto, representado por uma bolinha vazia. Quando o sinal inclui o igual, o ponto fica fechado, representado por uma bolinha preenchida.

Esse tipo de representação gráfica também ajuda a entender velocidade média e problemas de intervalo de tempo, em que a resposta também é um período, não um instante único. A mesma lógica de testar um valor dentro do intervalo encontrado, para conferir se ele realmente satisfaz a condição original, vale para MMC e MDC e para razão e proporção, disciplinas em que conferir o resultado final evita levar uma resposta errada para o cartão de respostas.

Resumo: equação versus inequação do primeiro grau.

Ponto	Equação	Inequação
Sinal entre os lados	Igual.	Maior, menor, maior ou igual, menor ou igual.
Tipo de solução	Um valor exato (ou um conjunto pequeno).	Um intervalo de valores.
Representação	Um ponto na reta numérica.	Uma seta ou um segmento na reta numérica.
Regra extra	Não existe.	Inverter o sinal ao multiplicar ou dividir por número negativo.
Erro mais comum	Erro de conta ao isolar a incógnita.	Esquecer de inverter o sinal da desigualdade.

Essa comparação entre uma resposta exata e um intervalo de respostas também aparece em probabilidade, quando a questão pede a chance de um evento ocorrer dentro de uma faixa de valores, e em estatística descritiva, quando se trabalha com intervalos de classe.

Perguntas frequentes:

O que é inequação do primeiro grau?

É uma desigualdade entre duas expressões com uma incógnita de expoente 1, usando os sinais maior, menor, maior ou igual ou menor ou igual no lugar do sinal de igual. A solução é um intervalo de valores, não um único número.

Quando inverte o sinal da inequação?

O sinal da desigualdade inverte somente quando os dois lados são multiplicados ou divididos por um número negativo. Somar, subtrair, multiplicar ou dividir por número positivo não muda o sinal.

Como representar a solução de uma inequação na reta numérica?

Marca-se o valor encontrado na reta e desenha-se uma seta na direção indicada pelo sinal. O ponto fica aberto quando o sinal é estrito e fechado quando o sinal inclui o igual.

Inequação do primeiro grau cai em que tipo de concurso?

Aparece em provas de matemática básica de qualquer nível de escolaridade, geralmente dentro de um problema contextualizado sobre valor mínimo, prazo máximo ou quantidade mínima de horas ou itens.

Vale lembrar que inequação do primeiro grau raramente aparece sozinha na prova. Costuma vir ao lado de equação do segundo grau ou de geometria plana para concurso dentro do mesmo bloco de álgebra, então treinar os três assuntos juntos rende mais pontos do que revisar inequação isolada na véspera.

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