Números Racionais e Irracionais: Guia para Concursos

Nem todo número com casas decimais infinitas é igual: alguns escondem um padrão que se repete para sempre, e outros nunca repete nada.

Números racionais são todos os que podem ser escritos como fração de dois números inteiros, incluindo os decimais exatos e as dízimas periódicas. Números irracionais são os que não cabem em nenhuma fração, porque sua representação decimal é infinita e nunca se repete em um padrão fixo, como a raiz quadrada de um número que não é quadrado perfeito.

• O que são números racionais e números irracionais?
• Quais são os tipos de números dentro dos racionais e irracionais?
• Como funcionam as operações entre racionais e irracionais: regras e tabela.
• Exercício resolvido: dois problemas comentados de concurso.
• Quais são os erros mais comuns ao classificar racionais e irracionais?
• Como identificar rapidamente se um número é racional ou irracional?
• Resumo: a hierarquia dos conjuntos numéricos.
• Perguntas frequentes:

O que são números racionais e números irracionais?

Número racional é todo número que pode ser escrito na forma de fração p sobre q, em que p e q são inteiros e q é diferente de zero. Isso inclui os números inteiros, as frações comuns, os decimais exatos (como 0,5) e as dízimas periódicas (como 0,333, de período 3). Número irracional é o que não admite essa forma: sua casa decimal segue para sempre sem nenhum período que se repita.

Esse conteúdo é a base de fração geratriz, porque toda dízima periódica tem uma fração geratriz correspondente, e também conversa direto com potenciação e radiciação, já que a maior parte dos irracionais que aparecem em prova nasce de uma raiz quadrada ou cúbica sem resultado exato.

Quais são os tipos de números dentro dos racionais e irracionais?

A prova costuma pedir para classificar um número dentro dos conjuntos numéricos, então vale conhecer cada grupo separadamente.

Números racionais:

Reúnem os inteiros, as frações e os decimais que terminam ou que repetem um padrão para sempre. Exemplo: -5, 3 sobre 4, 0,5 e 0,454545, de período 45, são todos racionais.

Números irracionais:

Têm decimal infinito sem nenhum padrão que se repita. A maior parte vem de raízes sem resultado exato ou de constantes matemáticas. Exemplo: a raiz quadrada de 10, o número pi e o número de Euler são irracionais.

Números reais:

É a união de todos os racionais com todos os irracionais. Todo número que aparece em uma prova de matemática básica, sem envolver raiz de número negativo, está dentro do conjunto dos reais. Exemplo: -3, 0, 2 sobre 5, a raiz quadrada de 2 e pi são todos números reais.

Essa hierarquia de conjuntos aparece de novo em teoria dos conjuntos e diagrama de Venn, porque os racionais e os irracionais são dois conjuntos que nunca se cruzam, mas cuja união forma exatamente o conjunto dos reais.

Como funcionam as operações entre racionais e irracionais: regras e tabela.

A prova gosta de testar o que acontece quando se soma ou multiplica um racional com um irracional, porque o resultado segue uma regra fixa.

Operação	Resultado	Por que acontece
Racional mais irracional	Sempre irracional.	Se fosse racional, o irracional teria que ser a diferença de dois racionais, o que é impossível.
Irracional mais irracional	Pode ser racional ou irracional.	A raiz de 2 mais a raiz de 2 é irracional, mas a raiz de 2 mais a raiz de 2 negativa é zero, que é racional.
Racional, diferente de zero, vezes irracional	Sempre irracional.	A mesma lógica da soma vale para a multiplicação.
Irracional vezes irracional	Pode ser racional ou irracional.	A raiz de 2 vezes a raiz de 2 dá 2, que é racional, mas a raiz de 2 vezes a raiz de 3 dá a raiz de 6, que é irracional.

Essas regras de combinação também valem, em outra forma, para MMC e MDC, em que a prova também testa o que acontece quando se combinam dois tipos diferentes de número.

Exercício resolvido: dois problemas comentados de concurso.

Os dois exercícios abaixo seguem o formato mais comum de prova de concurso e são adaptados, sem vínculo com uma banca, um órgão ou um ano específico.

Exercício 1, nível básico:

Classifique os números 0,333 de período 3, a raiz quadrada de 9 e a raiz quadrada de 10 como racionais ou irracionais.

Passo 1: 0,333 de período 3 é uma dízima periódica, que sempre pode ser escrita como fração (1 sobre 3). Por isso é racional.

Passo 2: a raiz quadrada de 9 é exatamente 3, um número inteiro. Todo inteiro é racional.

Passo 3: a raiz quadrada de 10 não tem resultado exato, porque 10 não é quadrado perfeito, e sua decimal não repete nenhum padrão. Por isso é irracional.

Resposta: 0,333 de período 3 é racional, a raiz de 9 é racional, e a raiz de 10 é irracional.

Exercício 2, nível de prova:

Entre os números a seguir, quantos são irracionais: a raiz quadrada de 9, a raiz quadrada de 10, 0,777 de período 7, e pi dividido por 2.

Passo 1: a raiz quadrada de 9 é igual a 3, um número racional, porque 9 é quadrado perfeito.

Passo 2: a raiz quadrada de 10 é irracional, porque 10 não é quadrado perfeito.

Passo 3: 0,777 de período 7 é uma dízima periódica igual à fração 7 sobre 9, portanto racional.

Passo 4: pi é irracional, e dividir um irracional por um racional diferente de zero continua irracional, então pi dividido por 2 também é irracional.

Resposta: dois números são irracionais nessa lista, a raiz quadrada de 10 e pi dividido por 2.

Quais são os erros mais comuns ao classificar racionais e irracionais?

A maior parte do erro nessa disciplina não vem de conta errada, vem de classificação apressada, feita sem conferir se o número de dentro da raiz é mesmo um quadrado perfeito ou se a dízima realmente se repete em um padrão fixo. Os pontos abaixo resumem onde a banca mais tenta confundir o candidato.

• Achar que toda raiz quadrada é irracional, sem conferir primeiro se o número de dentro é um quadrado perfeito.
• Confundir dízima periódica (racional) com decimal infinito qualquer, achando que toda casa decimal longa já é irracional.
• Esquecer que um número negativo também pode ser racional ou irracional, e tentar classificar só pelo sinal.
• Achar que pi é igual a 3,14 de forma exata, quando na verdade esse valor é só uma aproximação de um número irracional.
• Somar dois irracionais e supor que o resultado é sempre irracional, sem verificar se eles se cancelam.
• Não simplificar a fração antes de decidir se um decimal é racional, o que leva a classificar errado uma fração que na verdade é exata.

Como identificar rapidamente se um número é racional ou irracional?

O teste mais rápido é perguntar se o número pode ser escrito como fração exata de dois inteiros. Decimal que termina, como 0,25, é sempre racional. Decimal que repete um bloco de números para sempre, como 0,121212, de período 12, também é racional, porque toda dízima periódica tem fração geratriz.

Já quando a casa decimal segue infinita e sem nenhum padrão que se repita, o número é irracional. Isso costuma acontecer com raiz quadrada de número que não é quadrado perfeito (como 2, 3, 5, 7, 10) e com as constantes pi e o número de Euler. Vale revisar critérios de divisibilidade e números primos para reconhecer rápido quais números não são quadrados perfeitos.

Esse tipo de classificação rápida também ajuda em estatística descritiva e em razão e proporção, disciplinas em que identificar rápido o tipo de número evita perder tempo com conta desnecessária. O mesmo cuidado vale para matemática financeira para concurso, em que taxas e juros quase sempre resultam em números racionais, o que ajuda a conferir se uma conta fechou certo.

Resumo: a hierarquia dos conjuntos numéricos.

Conjunto	O que contém	Exemplo
Naturais	Inteiros positivos e o zero.	0, 1, 2, 3.
Inteiros	Naturais e seus opostos negativos.	-3, -1, 0, 5.
Racionais	Tudo que vira fração exata, incluindo os inteiros.	1 sobre 2, 0,5, 0,333 de período 3.
Irracionais	Decimal infinito sem período.	Raiz de 2, pi, número de Euler.
Reais	União de todos os racionais com todos os irracionais.	Qualquer número da reta numérica.

Essa hierarquia é a mesma usada em geometria plana para concurso, quando a questão pede o valor exato de uma diagonal ou de uma altura e a resposta aparece em forma de raiz, não de número inteiro.

Perguntas frequentes:

O que são números racionais e números irracionais?

Racionais são os números que podem ser escritos como fração de dois inteiros, incluindo decimais exatos e dízimas periódicas. Irracionais são os que têm decimal infinito e sem período, não podendo ser escritos como fração exata.

Toda raiz quadrada é um número irracional?

Não. A raiz quadrada só é irracional quando o número de dentro não é um quadrado perfeito. A raiz de 9, de 16 e de 25, por exemplo, são números racionais, porque o resultado é exato.

Como saber se uma dízima periódica é racional?

Toda dízima periódica é racional, porque sempre existe uma fração geratriz que representa exatamente aquele número. A regra vale mesmo quando o período tem vários algarismos.

Números racionais e irracionais caem em qual tipo de concurso?

Aparecem em provas de matemática básica de qualquer nível de escolaridade, geralmente pedindo para classificar uma lista de números ou para identificar o conjunto numérico correto.

Vale lembrar que essa classificação raramente aparece sozinha na prova. Costuma vir ao lado de equação do primeiro grau ou de probabilidade no mesmo bloco de matemática, então treinar os conjuntos numéricos junto com esses assuntos rende mais pontos do que revisar cada um isoladamente na véspera da prova.

Pronto para fechar de uma vez a classificação dos conjuntos numéricos?

Quem revisa números racionais e irracionais junto com potenciação e radiciação e com um cronograma de estudos bem distribuído evita perder questão por confundir conjunto numérico. Conheça o curso e confira o conteúdo completo de matemática para concurso no Portal Concursos.