Luan Loureiro Redação
Atualizado em 04/10 às 01h
Critérios de divisibilidade e números primos na prova.
Saber se 9.218 é divisível por 11 leva quatro segundos e nenhuma conta de divisão. Quem não conhece o critério divide à mão, erra o resto e perde a questão mais barata da prova de matemática.
Critérios de divisibilidade são regras rápidas que dizem se um número é divisível por outro sem efetuar a divisão. As mais cobradas observam o último algarismo, nos casos de 2, 5 e 10; a soma dos algarismos, nos casos de 3 e 9; os dois ou três últimos dígitos, nos casos de 4 e 8; e a soma alternada, no caso do 11.
Navegue pelo artigo:
- O que são critérios de divisibilidade?
- Os dez critérios que mais caem na prova.
- Números primos e fatoração.
- Como as bancas cobram divisibilidade.
- Exercício resolvido.
- Erros mais comuns.
- Resumo para revisar na véspera.
- Perguntas frequentes.
O que são critérios de divisibilidade?
Um número é divisível por outro quando a divisão entre eles deixa resto zero. O critério de divisibilidade é um atalho que responde a essa pergunta olhando a estrutura do número, sem precisar dividir. Em vez de calcular 9.218 dividido por 11, você soma os algarismos em posições alternadas e compara os dois grupos.
Esse atalho não é curiosidade de livro escolar. Ele é a base de três assuntos que caem muito: a fatoração que alimenta o cálculo de MMC e MDC, a simplificação de frações em questões de matemática financeira e a contagem de casos em análise combinatória.
Em prova, o ganho é de tempo. Uma questão que pediria três divisões longas se resolve com duas somas mentais, e o minuto economizado vai para a questão que realmente exige cálculo, seja de geometria plana ou de estatística descritiva.
Os dez critérios que mais caem na prova:
A tabela reúne os dez critérios na ordem em que aparecem nos editais, com um número de exemplo e a divisão conferida na última coluna. Vale cobrir a coluna da direita e testar cada linha de cabeça.
| Divisor | Regra | Exemplo | Conferência |
|---|---|---|---|
| 2 | Termina em 0, 2, 4, 6 ou 8 | 1.534 | 1.534 ÷ 2 = 767 |
| 3 | A soma dos algarismos é múltiplo de 3 | 4.728, soma 21 | 4.728 ÷ 3 = 1.576 |
| 4 | Os dois últimos algarismos formam múltiplo de 4 | 1.316, final 16 | 1.316 ÷ 4 = 329 |
| 5 | Termina em 0 ou 5 | 2.470 | 2.470 ÷ 5 = 494 |
| 6 | Passa no critério do 2 e no do 3 ao mesmo tempo | 4.728 | 4.728 ÷ 6 = 788 |
| 7 | Dobre o último algarismo e subtraia do número sem ele | 203, pois 20 menos 6 dá 14 | 203 ÷ 7 = 29 |
| 8 | Os três últimos algarismos formam múltiplo de 8 | 5.104, final 104 | 5.104 ÷ 8 = 638 |
| 9 | A soma dos algarismos é múltiplo de 9 | 2.943, soma 18 | 2.943 ÷ 9 = 327 |
| 10 | Termina em 0 | 8.390 | 8.390 ÷ 10 = 839 |
| 11 | A soma alternada dos algarismos dá 0 ou múltiplo de 11 | 9.218, pois 10 menos 10 dá 0 | 9.218 ÷ 11 = 838 |
Critérios que se resolvem no último algarismo.
Os critérios de 2, 5 e 10 só dependem da terminação, e por isso são os primeiros a usar como filtro. Em 1.534, o final 4 garante a divisibilidade por 2, e 1.534 dividido por 2 resulta em 767. Em 2.470, o final 0 garante os três critérios de uma vez, porque todo número terminado em 0 é divisível por 2, por 5 e por 10. Quando uma questão apresenta quatro números e pergunta qual é divisível por 5, essa leitura elimina as alternativas erradas antes de qualquer cálculo.
Critérios que se resolvem na soma dos algarismos.
Os critérios de 3 e de 9 pedem a soma dos algarismos. Em 4.728, a soma é 4 mais 7 mais 2 mais 8, igual a 21, que é múltiplo de 3, e 4.728 dividido por 3 resulta em 1.576. Em 2.943, a soma é 18, múltiplo de 9, e a divisão por 9 resulta em 327. A relação entre os dois é de mão única: todo número divisível por 9 também é divisível por 3, mas o contrário não vale, e 21 é exatamente o contraexemplo, porque é múltiplo de 3 e não de 9.
Os critérios de 4, de 8 e de 11 exigem um passo extra. Para 4, basta olhar os dois últimos algarismos: em 1.316, o final 16 é múltiplo de 4. Para 8, olhe os três últimos: em 5.104, o final 104 é múltiplo de 8, pois 104 dividido por 8 dá 13. Para 11, numere as posições da direita para a esquerda, some as ímpares, some as pares e compare: em 9.218, as posições ímpares somam 8 mais 2, igual a 10, e as pares somam 1 mais 9, também igual a 10, logo a diferença é zero e o número é divisível por 11. O critério do 7 é o menos intuitivo e vale mais como curiosidade de prova: dobre o último algarismo e subtraia do que sobrou, como em 203, onde 20 menos 6 resulta em 14, múltiplo de 7.
Números primos e fatoração em primos:
O que torna um número primo e como testar na prova?
Primo é o número natural maior que 1 que tem exatamente dois divisores, o 1 e ele mesmo. Dois pontos derrubam muita gente: o 1 não é primo, porque tem um único divisor, e o 2 é primo, apesar de ser par, sendo o único par primo que existe. Os primos até 20 são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19.
Para testar se um número é primo, basta dividi-lo pelos primos menores ou iguais à raiz quadrada dele. Em 211, a raiz quadrada fica entre 14 e 15, então testar 2, 3, 5, 7, 11 e 13 é suficiente: nenhum divide, logo 211 é primo. Já 221 parece primo e não é, porque 13 vezes 17 resulta em 221. O mesmo ocorre com 91, que é 7 vezes 13.
Fatoração e a fórmula que conta os divisores.
Fatorar é escrever o número como produto de primos. Com a fatoração na mão, a quantidade de divisores positivos sai de uma regra simples: some 1 a cada expoente e multiplique os resultados. Em 1.800, cuja fatoração é 2³ × 3² × 5², os expoentes 3, 2 e 2 viram 4, 3 e 3, e o produto 4 × 3 × 3 resulta em 36 divisores. A tabela confere a regra em quatro números.
| Número | Fatoração em primos | Expoentes somados a 1 | Divisores positivos |
|---|---|---|---|
| 36 | 2² × 3² | 3 × 3 | 9 |
| 48 | 2⁴ × 3 | 5 × 2 | 10 |
| 100 | 2² × 5² | 3 × 3 | 9 |
| 360 | 2³ × 3² × 5 | 4 × 3 × 2 | 24 |
| 1.800 | 2³ × 3² × 5² | 4 × 3 × 3 | 36 |
Como as bancas cobram divisibilidade na prova:
São três formatos recorrentes. No primeiro, o enunciado traz quatro números e pede qual deles é divisível por um valor dado, e o critério resolve sem conta. No segundo, falta um algarismo e você precisa descobri-lo, tipo de item que o Cebraspe costuma transformar em julgamento de certo ou errado. No terceiro, o pedido é a contagem de divisores, de múltiplos ou a condição de divisibilidade simultânea, formato frequente em bancas de múltipla escolha como a FGV.
Julgue o item adaptado a seguir: o número 324 é divisível por 9 e também por 4. O gabarito é certo, porque a soma dos algarismos de 324 é 9, múltiplo de 9, e a divisão dá 36; e os dois últimos algarismos formam 24, múltiplo de 4, com divisão igual a 81. Trata-se de item escrito no estilo da banca para fins didáticos, portanto adaptado, sem reprodução de prova real. Estudar pelo formato da sua banca muda o rendimento, assunto do guia sobre banca examinadora.
Exercício resolvido:
Exercício 1, de aquecimento.
Entre os números 1.234, 2.345, 3.456 e 4.567, qual é divisível por 6?
- Lembre que o critério do 6 exige aprovação simultânea no critério do 2 e no do 3.
- Aplique o critério do 2 e elimine os ímpares: 2.345 e 4.567 saem da disputa, porque terminam em 5 e em 7.
- Some os algarismos dos dois que sobraram: em 1.234 a soma é 10, que não é múltiplo de 3; em 3.456 a soma é 18, que é múltiplo de 3.
- Apenas 3.456 passa nos dois critérios, e a divisão confirma: 3.456 dividido por 6 resulta em 576.
Resposta: 3.456.
Exercício 2, no nível de prova.
Quantos divisores positivos tem o número 1.800?
- Fatore o número em primos, dividindo sucessivamente: 1.800 por 2 dá 900, por 2 dá 450, por 2 dá 225, que não é mais par.
- Continue pelos primos seguintes: 225 por 3 dá 75, por 3 dá 25, e 25 por 5 dá 5, que por 5 dá 1.
- Reúna o resultado: a fatoração é 2³ × 3² × 5², e a conferência fecha, porque 8 vezes 9 vezes 25 resulta em 1.800.
- Some 1 a cada expoente e multiplique: 3 mais 1 dá 4, 2 mais 1 dá 3 e 2 mais 1 dá 3, então 4 × 3 × 3 resulta em 36.
Resposta: 36 divisores positivos. A pegadinha mais comum nesse formato é somar os expoentes em vez de somar 1 a cada um e multiplicar, erro que levaria a 7 e costuma figurar entre as alternativas. Questão adaptada no estilo das bancas, no padrão de contagem direta.
Formato encadeado como esse rende mais em treino seriado. Filtre por assunto no banco de questões, resolva em bloco e feche a semana com um simulado completo para medir o tempo por item.
Erros mais comuns com divisibilidade e primos:
- Tratar o 1 como número primo, quando ele tem apenas um divisor.
- Excluir o 2 da lista de primos por ser par, sendo que ele é o único par primo.
- Concluir que todo número divisível por 3 também é divisível por 9, o que é falso, como mostra o 21.
- Usar o critério do 4 olhando só o último algarismo, e não os dois últimos.
- Somar os expoentes da fatoração em vez de somar 1 a cada expoente e multiplicar.
- Testar divisores além da raiz quadrada ao verificar se um número é primo, desperdiçando tempo de prova.
Vale anotar qual desses passos falhou em cada erro, porque o padrão se repete, raciocínio detalhado no guia de caderno de erros. Para fixar a lista de primos e os dez critérios, os flashcards rendem mais que releitura.
Resumo para revisar na véspera:
| O enunciado pede | O que fazer |
|---|---|
| Qual número é divisível por 6 | Teste o critério do 2 e depois o do 3, nessa ordem |
| Descobrir o algarismo que falta | Monte a soma dos algarismos e ache o valor que fecha o múltiplo |
| Quantos divisores tem um número | Fatore em primos, some 1 a cada expoente e multiplique |
| Se um número é primo | Divida pelos primos até a raiz quadrada dele |
| Divisibilidade simultânea por vários números | Calcule o MMC e procure os múltiplos dele no intervalo dado |
| Simplificar uma fração grande | Fatore numerador e denominador e corte os primos comuns |
| Divisibilidade por 11 | Some as posições ímpares, some as pares e compare os dois grupos |
Dez minutos semanais com essa tabela, encaixados no seu cronograma de estudos, mantêm o assunto ativo sem ocupar espaço de matéria pesada. Se o seu estudo acontece em deslocamento, o guia de aplicativo para estudar mostra como usar esses blocos curtos.
Perguntas frequentes:
Quantos critérios de divisibilidade existem?
Existe um critério para cada número inteiro, mas as provas trabalham com dez: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e 11. Os de 2, 3, 4, 5, 6, 9 e 10 são os que realmente se repetem em concurso; o do 7 aparece pouco e o do 11 costuma vir em questão de nível mais alto.
O número 1 é primo?
Não. Primo é o natural maior que 1 com exatamente dois divisores distintos, e o 1 tem apenas um divisor, que é ele mesmo. Por isso o 1 não é primo nem composto, e essa é uma das afirmações falsas mais usadas em item de julgamento.
Como saber se um número grande é primo?
Divida apenas pelos números primos menores ou iguais à sua raiz quadrada. Para 211, cuja raiz fica entre 14 e 15, testar 2, 3, 5, 7, 11 e 13 basta para concluir que ele é primo. Passar desse limite não acrescenta informação.
Critérios de divisibilidade caem em prova de nível superior?
Sim, geralmente embutidos em outro assunto. Eles aparecem na contagem de divisores, na simplificação dentro de questões de probabilidade e em enunciados de raciocínio lógico que envolvem repartição exata de quantidades.
Troque conta longa por regra rápida na prova.
Divisibilidade é o assunto de melhor retorno por hora estudada em exatas, porque uma tarde de treino libera minutos em toda a prova de matemática. No Portal Concursos você encontra videoaulas direto ao ponto sobre matemática básica, banco de questões com provas reais das bancas e simulados ilimitados com desempenho detalhado por assunto, que apontam onde o tempo ainda escapa. Conheça os cursos e confira o conteúdo de matemática por dentro, ou compare os planos em assinaturas.
