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Atualizado em 25/09 às 16h
Escolher 3 nomes entre 10 dá 120 resultados quando a ordem não importa e 720 quando ela importa. É o mesmo enunciado, seis vezes mais respostas, e essa confusão decide a questão.
Análise combinatória é a parte da matemática que conta quantos agrupamentos podem ser formados sem precisar listar um por um. Em concurso ela chega sempre por três portas: permutação, quando todos os elementos entram no agrupamento; arranjo, quando a ordem altera o resultado; e combinação, quando a ordem é irrelevante.
Neste guia você vai encontrar:
O que é análise combinatória?
Análise combinatória é o conjunto de técnicas que permite contar agrupamentos possíveis sem enumerar cada um deles. Quando alguém pergunta de quantas formas uma comissão de três pessoas pode ser montada a partir de oito servidores, ninguém espera que você escreva as combinações no rascunho. A fórmula existe justamente para substituir a contagem manual.
O tema costuma abrir o bloco de probabilidade na prova, o que amplia o estrago de um erro aqui. Questão de probabilidade quase sempre exige contar casos favoráveis e casos possíveis, e as duas contagens saem da combinatória. Errar o tipo de agrupamento contamina as duas contas.
Em concurso, a boa notícia é que a variedade é pequena. Cinco ferramentas cobrem quase tudo que cai: princípio fundamental da contagem, permutação simples, permutação com repetição, arranjo simples e combinação simples. Quem domina essas cinco resolve a maioria das questões de matemática e raciocínio lógico que envolvem contagem.
Princípio fundamental da contagem: a base de tudo
O princípio fundamental da contagem, também chamado de princípio multiplicativo, diz que, se uma decisão pode ser tomada de m maneiras e outra de n maneiras, as duas juntas podem ser tomadas de m vezes n maneiras. É simples assim, e é de onde nascem todas as outras fórmulas.
Um exemplo concreto. Uma prova tem 4 alternativas por questão e 3 questões. Quantos gabaritos diferentes existem? São 4 vezes 4 vezes 4, o que dá 64 possibilidades. Ninguém precisou decorar fórmula nenhuma para chegar lá.
Guarde essa ideia: sempre que o enunciado descrever etapas sucessivas de escolha, multiplique as possibilidades de cada etapa. Boa parte das questões de contagem em prova de nível médio se resolve só com isso, como mostra o panorama de matemática para concurso de nível médio publicado no blog.
Fatorial: a notação que assusta e resolve
O fatorial de um número natural n, escrito n!, é o produto de n por todos os naturais menores que ele até chegar a 1. Então 5! é 5 vezes 4 vezes 3 vezes 2 vezes 1, o que dá 120. Por convenção, 0! vale 1 e 1! também vale 1.
O detalhe que economiza tempo em prova é a simplificação. Em vez de calcular 10! inteiro para depois dividir, cancele o que se repete. Em 10! dividido por 7!, os fatores de 7 para baixo somem e sobra apenas 10 vezes 9 vezes 8, o que dá 720. Calcular fatorial completo na prova é desperdício de minuto.
Permutação, arranjo e combinação em uma tabela
A tabela abaixo resume o que diferencia os três agrupamentos. Leia a coluna do meio primeiro: é ela que decide qual fórmula usar.
Agrupamento | A ordem importa? | Usa todos os elementos? | Fórmula |
|---|---|---|---|
Permutação simples | Sim | Sim | Pn = n! |
Permutação com repetição | Sim | Sim | n! dividido pelo produto dos fatoriais das repetições |
Arranjo simples | Sim | Não, escolhe p entre n | A = n! dividido por (n menos p)! |
Combinação simples | Não | Não, escolhe p entre n | C = n! dividido por p! vezes (n menos p)! |
Permutação circular | Sim, em roda | Sim | Pc = (n menos 1)! |
Permutação simples
Usada quando todos os elementos entram e a ordem diferencia os resultados. De quantas formas 5 candidatos podem sentar em 5 cadeiras numeradas? A resposta é 5!, ou seja, 120 formas.
Permutação com repetição
Entra quando há elementos idênticos no conjunto. Quantos anagramas tem a palavra BANCA? São 5 letras com a letra A repetida duas vezes, então o cálculo é 5! dividido por 2!, o que dá 60 anagramas.
Arranjo simples
Escolhe p elementos entre n e a ordem importa. Quantas senhas de 4 algarismos distintos podem ser formadas com os dígitos de 0 a 9? São 10 vezes 9 vezes 8 vezes 7, resultando em 5.040 senhas.
Combinação simples
Escolhe p elementos entre n e a ordem não importa. De quantas formas escolher 3 livros entre 10 para levar na viagem? O cálculo é 10! dividido por 3! vezes 7!, o que dá 120 escolhas.
O teste de três segundos para não errar o tipo
Antes de aplicar qualquer fórmula, troque a ordem de dois elementos do agrupamento e pergunte se o resultado continua o mesmo. Se continuar igual, é combinação. Se virar um resultado diferente, é arranjo.
Aplique ao caso clássico. Uma comissão formada por Ana, Bruno e Carla é a mesma comissão formada por Carla, Bruno e Ana, então cargo nenhum muda e o caso é de combinação. Agora, se Ana for presidente e Carla relatora, trocar as duas cria uma configuração diferente, e aí o caso é de arranjo.
Palavras do enunciado ajudam a confirmar. Comissão, grupo, equipe, seleção de itens e time costumam indicar combinação. Senha, código, pódio, fila, ordem de apresentação, chapa com cargos definidos e classificação costumam indicar arranjo. Não são regras absolutas, mas acertam na esmagadora maioria das questões.
Exercício resolvido passo a passo
Enunciado no estilo de prova de nível médio. Uma repartição tem 8 servidores. Serão formadas duas estruturas: uma comissão de 3 membros sem cargos definidos e, separadamente, uma diretoria com presidente, secretário e relator escolhidos entre os mesmos 8 servidores. Quantas possibilidades existem em cada caso?
Passo 1. Identifique o tipo de cada estrutura. Na comissão sem cargos, trocar a ordem dos nomes não muda nada, então é combinação. Na diretoria, cada cargo é distinto, então é arranjo.
Passo 2. Resolva a combinação. C de 8 escolhe 3 é igual a 8! dividido por 3! vezes 5!. Simplificando, fica 8 vezes 7 vezes 6 dividido por 6, o que resulta em 56 comissões possíveis.
Passo 3. Resolva o arranjo. A de 8 escolhe 3 é igual a 8! dividido por 5!, ou seja, 8 vezes 7 vezes 6, o que resulta em 336 diretorias possíveis.
Passo 4. Confira a relação entre os dois números. O arranjo é sempre a combinação multiplicada por p!, porque cada grupo escolhido pode ser ordenado de p! maneiras. Aqui, 56 vezes 3! dá exatamente 336, o que confirma a conta. Esse teste de consistência salva a questão quando a memória falha na fórmula.
Como as bancas cobram análise combinatória
O tema aparece em praticamente todo edital que traz raciocínio lógico matemático, de cargos de nível médio a carreiras de nível superior. A forma muda um pouco conforme o estilo da organizadora.
Formato | Como aparece | O que treinar |
|---|---|---|
Contagem direta | Pede o número de agrupamentos possíveis | Identificar arranjo ou combinação |
Contagem com restrição | Exige que certos elementos fiquem juntos ou separados | Tratar o bloco como elemento único |
Anagramas | Palavra com letras repetidas | Permutação com repetição |
Combinatória dentro de probabilidade | Pede a chance de um evento | Contar casos favoráveis e possíveis |
Certo ou errado | Afirma um valor numérico e pede o julgamento | Calcular rápido e conferir a ordem de grandeza |
Vale conhecer o estilo de quem vai aplicar a sua prova. O blog traz perfis da banca Cebraspe e da Fundatec e também da banca Quadrix com o formato de questão que cada uma prefere. A própria página de concursos da FGV e o portal do Cebraspe publicam provas anteriores que servem de treino gratuito.
Os erros que mais custam pontuação
Usar arranjo quando o enunciado descreve grupo sem cargos. O resultado fica p! vezes maior do que deveria.
Esquecer a divisão pelas repetições em anagramas. A palavra com letras iguais sempre pede permutação com repetição.
Somar quando deveria multiplicar. Etapas sucessivas multiplicam, casos alternativos somam.
Calcular fatorial inteiro em vez de simplificar. O tempo perdido aqui derruba as questões seguintes.
Ignorar a restrição do enunciado, como elementos que devem ficar juntos ou posições que não podem começar com zero.
Confundir contagem com probabilidade e parar no número de casos, sem dividir pelo total.
Esses seis deslizes explicam a maior parte dos erros em prova. Registre cada um no seu caderno de erros e reveja o tema em ciclos de revisão espaçada porque combinatória é conteúdo que evapora rápido sem prática.
Resumo de fórmulas para a véspera
Situação | Fórmula | Exemplo numérico |
|---|---|---|
Etapas sucessivas | Multiplique as possibilidades | 4 vezes 4 vezes 4 dá 64 |
Ordenar n elementos | n! | 5! dá 120 |
Anagrama com repetição | n! dividido pelos fatoriais das repetições | 5! dividido por 2! dá 60 |
Escolher p entre n com ordem | n! dividido por (n menos p)! | A de 8 escolhe 3 dá 336 |
Escolher p entre n sem ordem | n! dividido por p! vezes (n menos p)! | C de 8 escolhe 3 dá 56 |
Pessoas em roda | (n menos 1)! | 5 pessoas em roda dão 24 |
Leve essa tabela para a revisão final do seu cronograma de estudos e teste tudo em simulados cronometrados antes da prova. Na reta final a combinatória rende muito por ser tema de fórmula fechada e correção objetiva.
Perguntas frequentes (FAQ)
Qual é a diferença entre arranjo e combinação?
No arranjo a ordem dos elementos altera o resultado, e na combinação ela não altera. Escolher presidente e vice entre cinco pessoas é arranjo, porque inverter os nomes cria outra configuração. Escolher dois representantes sem cargo definido é combinação.
Como saber quando usar permutação?
Use permutação quando todos os elementos do conjunto entram no agrupamento e a ordem importa. Se o enunciado fala em organizar, ordenar, enfileirar ou formar anagramas com todas as letras, o caso é de permutação. Havendo elementos repetidos, divida pelo fatorial de cada repetição.
Análise combinatória cai em concurso de nível médio?
Cai com frequência em editais que trazem raciocínio lógico matemático, inclusive em cargos administrativos e de apoio. Nesses casos as questões costumam envolver o princípio fundamental da contagem e combinações simples, sem exigir demonstrações.
O que significa o ponto de exclamação nas fórmulas?
Ele indica fatorial. O símbolo n! representa a multiplicação de n por todos os números naturais menores que ele até 1. Assim, 4! equivale a 4 vezes 3 vezes 2 vezes 1, o que dá 24. Por convenção, 0! vale 1.
Combinatória é a mesma coisa que probabilidade?
Não, mas as duas andam juntas. A combinatória conta quantos agrupamentos existem, e a probabilidade divide os casos favoráveis pelo total de casos possíveis. Sem saber contar corretamente, a conta de probabilidade sai errada mesmo com a fórmula certa.
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