Razão e proporção para concurso: guia completo

Em uma prova de nível médio, razão e proporção costumam aparecer em três ou quatro questões, e todas elas se resolvem com uma multiplicação cruzada que cabe em duas linhas de rascunho.

Razão e proporção é o assunto que compara duas grandezas por divisão. A razão entre dois números é o quociente entre eles, escrito como fração, e a proporção é a igualdade entre duas razões. Quando essa igualdade existe, vale a propriedade fundamental: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. É daí que sai a regra de três e quase tudo que a banca cobra no tema.

O que você vai encontrar neste guia:

• O que é razão e proporção na prática?
• Os tipos de razão que a banca cobra.
• As propriedades da proporção em tabela.
• Grandezas diretamente e inversamente proporcionais.
• Divisão proporcional, direta e inversa.
• Como as bancas cobram razão e proporção?
• Exercício resolvido, do simples ao nível de prova.
• Erros mais comuns que derrubam candidato.
• Resumo para revisar na véspera.
• Perguntas frequentes.

O que é razão e proporção na prática?

Razão é a comparação entre duas grandezas feita por divisão. Se um concurso teve 60 candidatos e 15 aprovados, a razão entre aprovados e candidatos é 15 dividido por 60, que simplifica para 1/4. Lê-se "um para quatro", e significa que houve um aprovado a cada quatro inscritos.

Proporção é a igualdade entre duas razões. Dizer que 3/5 e 24/40 formam uma proporção é dizer que as duas frações valem a mesma coisa. Para conferir, multiplique em cruz: 3 vezes 40 dá 120, e 5 vezes 24 também dá 120. Como os produtos coincidem, a proporção é verdadeira.

Essa checagem simples tem nome e é a ferramenta central do assunto.

Em uma proporção escrita como a/b igual a c/d, os números b e c ocupam as posições do meio e os números a e d ocupam as pontas. A propriedade fundamental garante que a vezes d é igual a b vezes c. Guardar isso resolve a maior parte das questões, porque toda incógnita em proporção sai de uma multiplicação cruzada seguida de uma divisão.

Quem está começando a estudar matemática para concurso de nível médio deve fixar esse conceito antes de avançar, porque ele sustenta regra de três, porcentagem, escala e boa parte da matemática financeira cobrada em prova.

Os tipos de razão que a banca cobra:

Nem toda razão é uma fração entre números soltos. O enunciado muda de roupa, e reconhecer o tipo acelera a resolução.

Razão entre grandezas de mesma espécie.

As duas quantidades têm a mesma unidade, então o resultado é um número puro, sem unidade. Antes de dividir, iguale as unidades. A razão entre 1,20 m e 80 cm não é 1,20 dividido por 80: você precisa converter 1,20 m em 120 cm e só então dividir. O resultado é 120/80, que simplifica para 3/2. A banca adora esconder a pegadinha trocando a unidade de um dos dois valores.

Razão entre grandezas diferentes, a taxa.

Quando as grandezas são de espécies distintas, o resultado carrega uma unidade composta e vira uma taxa. Velocidade é a razão entre distância e tempo, densidade demográfica é a razão entre população e área, e consumo é a razão entre litros e quilômetros. Um carro que percorre 240 km com 20 litros faz 12 km por litro. Em questões de concurso, a taxa quase sempre aparece em enunciado de interpretação, não em cálculo isolado.

Escala, a razão que cai em prova de cartografia e de engenharia.

Escala é a razão entre a medida no desenho e a medida real. Em uma planta na escala 1:50.000, cada centímetro no papel corresponde a 50.000 centímetros no terreno. Se dois pontos estão a 7 cm de distância no mapa, a distância real é 7 vezes 50.000, ou seja, 350.000 cm, que equivalem a 3,5 km. O erro clássico aqui é esquecer de converter centímetros em quilômetros no final.

Porcentagem, a razão de denominador 100.

Toda porcentagem é uma razão com denominador fixo em 100. Voltando ao exemplo dos aprovados, a razão 1/4 equivale a 25/100, ou seja, 25% de aprovação. Entender porcentagem como razão evita decorar fórmula e facilita a vida em questões que misturam aumento, desconto e proporção no mesmo enunciado.

As propriedades da proporção em tabela:

Além da propriedade fundamental, existem três derivadas que economizam tempo quando o enunciado dá soma ou diferença em vez de valores isolados.

Propriedade	Como se escreve	Quando usar
Fundamental	Se a/b = c/d, então a · d = b · c	Sempre que houver uma incógnita na proporção.
Da soma	a/b = c/d = (a + c)/(b + d)	Quando o enunciado dá a soma dos antecedentes ou dos consequentes.
Da diferença	a/b = c/d = (a - c)/(b - d)	Quando o enunciado dá a diferença entre as partes.
Da soma com o próprio termo	a/b = (a + b)/b aplicada após somar 1 aos dois lados	Em questões de aumento percentual disfarçado de proporção.

A propriedade da soma merece atenção especial. Se duas razões valem 2/3 e 8/12, a razão formada pela soma dos numeradores sobre a soma dos denominadores também vale 2/3, porque 10 dividido por 15 dá exatamente 2/3. Essa é a base matemática da divisão proporcional que você vai ver adiante.

Grandezas diretamente e inversamente proporcionais.

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando aumentam juntas na mesma medida, e inversamente proporcionais quando uma aumenta na mesma medida em que a outra diminui. O teste é objetivo: dobre uma delas e veja o que acontece com a outra.

Situação do enunciado	Tipo	O que fazer no cálculo
Mais trabalhadores, mais produção	Diretamente proporcional	Monte a proporção na ordem em que aparece.
Mais trabalhadores, menos dias para terminar	Inversamente proporcional	Inverta uma das razões antes de multiplicar em cruz.
Mais velocidade, menos tempo de viagem	Inversamente proporcional	Use o produto constante: velocidade vezes tempo não muda.
Mais horas de estudo, mais questões resolvidas	Diretamente proporcional	Monte a proporção direta.
Mais pessoas dividindo, menos reais para cada uma	Inversamente proporcional	Distribua usando os inversos das partes.

Um exemplo fecha a ideia. Se 6 servidores concluem um mutirão de atendimento em 20 dias, 8 servidores concluem o mesmo mutirão em quantos dias? Como a relação é inversa, o produto permanece constante: 6 vezes 20 dá 120, e 120 dividido por 8 dá 15 dias. Note que a resposta diminuiu, o que faz sentido, porque entrou gente a mais no trabalho.

Esse raciocínio de checagem vale ouro na prova. Antes de marcar, pergunte se o resultado deveria subir ou descer. Se o número foi para o lado errado, você inverteu quando não devia.

Divisão proporcional, direta e inversa.

Dividir um valor em partes proporcionais é tema recorrente em questões de administração pública, rateio de verba e distribuição de gratificação. O método é sempre o mesmo: encontre a constante de proporcionalidade e multiplique por cada parte.

Na divisão diretamente proporcional, some os números que representam as partes, divida o total por essa soma e multiplique o resultado por cada parte. Na divisão inversamente proporcional, troque cada número pelo seu inverso e repita o procedimento.

Esse é um dos poucos tópicos em que escrever a conta organizada no rascunho vale mais que rapidez. Quem tenta fazer de cabeça costuma trocar a ordem das partes e perder a questão por detalhe. Se você está montando seu cronograma de estudos para concurso, reserve uma sessão só para treinar rateio.

Como as bancas cobram razão e proporção?

A cobrança segue três formatos. O primeiro é o cálculo direto, com uma incógnita na proporção e alternativas numéricas. O segundo é o problema contextualizado, em que o candidato precisa montar a proporção a partir de um texto sobre orçamento, produção ou tempo de serviço. O terceiro é a pegadinha de unidade, em que o enunciado mistura metros com centímetros, horas com minutos ou reais com centavos.

O estilo varia conforme o examinador. A FGV costuma exigir interpretação longa antes do cálculo, a Vunesp tende a cobrar enunciado curto com conta limpa e a FCC costuma combinar proporção com porcentagem na mesma questão. Resolver provas anteriores da banca do seu concurso mostra esse padrão mais rápido do que qualquer resumo.

Uma observação honesta sobre macete. O famoso truque de "cortar zeros" funciona e economiza tempo, desde que você corte a mesma quantidade de zeros nos dois lados da proporção. Já o macete de "multiplicar em cruz sempre" falha nas questões inversas, porque nelas uma das razões precisa ser invertida antes. Macete que ignora o tipo de proporcionalidade não é atalho, é armadilha.

Exercício resolvido, do simples ao nível de prova.

Os dois exercícios abaixo foram escritos no estilo das bancas e são adaptados, não reproduções de questões reais. O primeiro treina o mecanismo, o segundo tem o nível de dificuldade que você encontra em prova de nível médio.

Exercício 1, cálculo direto da proporção.

Em uma repartição, a razão entre servidores efetivos e comissionados é de 3 para 5. Sabendo que há 40 comissionados, quantos efetivos trabalham na repartição?

1. Escreva a proporção na ordem do enunciado: efetivos sobre comissionados igual a 3 sobre 5.
2. Substitua o valor conhecido: x sobre 40 igual a 3 sobre 5.
3. Aplique a propriedade fundamental, multiplicando em cruz: 5 vezes x igual a 3 vezes 40.
4. Resolva: 5x igual a 120.
5. Isole a incógnita: x igual a 120 dividido por 5, ou seja, 24 servidores efetivos.
6. Confira pela multiplicação cruzada: 3 vezes 40 dá 120 e 5 vezes 24 dá 120, então a proporção se mantém.

Exercício 2, divisão proporcional em nível de prova.

Uma gratificação de R$ 12.600,00 será rateada entre três servidores em partes diretamente proporcionais aos anos de serviço de cada um, que são 2, 3 e 4 anos. Quanto recebe o servidor com mais tempo de casa?

1. Some as partes: 2 mais 3 mais 4 resulta em 9.
2. Encontre a constante de proporcionalidade dividindo o total pela soma: 12.600 dividido por 9 dá 1.400.
3. Multiplique a constante por cada parte: 1.400 vezes 2 dá R$ 2.800,00.
4. Siga para a segunda parte: 1.400 vezes 3 dá R$ 4.200,00.
5. Calcule a maior parte: 1.400 vezes 4 dá R$ 5.600,00, que é a resposta pedida.
6. Valide o resultado somando tudo: 2.800 mais 4.200 mais 5.600 dá exatamente 12.600, o valor original.

Agora o mesmo enunciado com uma troca de palavra, do jeito que a banca gosta de fazer. Se o rateio de R$ 2.600,00 fosse inversamente proporcional a 2, 3 e 4, o caminho mudaria: você usaria 1/2, 1/3 e 1/4, cuja soma é 13/12. A constante passaria a ser 2.600 dividido por 13/12, que dá 2.400. As partes ficariam em R$ 1.200,00, R$ 800,00 e R$ 600,00, e a soma continua batendo em 2.600. Repare que, no caso inverso, quem tem o maior número recebe o menor valor.

Erros mais comuns que derrubam candidato:

• Montar a proporção com as grandezas em ordens trocadas nas duas razões, colocando efetivos sobre comissionados de um lado e comissionados sobre efetivos do outro.
• Dividir sem igualar as unidades, comparando metros com centímetros ou horas com minutos direto no cálculo.
• Tratar como direta uma relação que é inversa, o que acontece sempre que o enunciado fala em menos tempo, menos dias ou menos pessoas.
• Esquecer de converter o resultado final para a unidade pedida, como responder em centímetros uma questão que pede quilômetros.
• Somar as partes do rateio sem conferir se o total bate com o valor do enunciado, o que deixa passar erro de conta.
• Simplificar a fração errado por cortar números que não são fatores comuns dos dois termos.

Resumo para revisar na véspera:

Conceito	O que guardar
Razão	Quociente entre duas grandezas, sempre com as unidades igualadas antes de dividir.
Proporção	Igualdade entre duas razões, validada pela multiplicação cruzada.
Propriedade fundamental	Produto dos meios igual ao produto dos extremos.
Diretamente proporcional	Uma cresce, a outra cresce na mesma medida.
Inversamente proporcional	Uma cresce, a outra diminui, e o produto entre elas fica constante.
Divisão direta	Total dividido pela soma das partes, multiplicado por cada parte.
Divisão inversa	Mesma lógica, usando os inversos das partes.
Checagem final	Some as partes e compare com o total, ou multiplique em cruz de novo.

Vale lembrar que razão e proporção conversa com quase todo o resto do programa de exatas. Ela aparece quando você calcula frequência relativa em estatística descritiva, quando compara casos favoráveis e casos possíveis em probabilidade, quando trabalha com semelhança de figuras em geometria plana e até quando simplifica frações apoiado em MMC e MDC. Quem domina proporção ganha velocidade em todas essas frentes.

Para aprofundar o tema com material de referência, vale consultar o acervo do Instituto de Matemática Pura e Aplicada, que mantém publicações públicas de matemática básica usadas na formação de professores. Outros conteúdos de exatas do blog estão reunidos em dicas de matemática e RLM, e as análises de estilo de prova ficam em análise de provas.

Perguntas frequentes:

O que é razão e proporção na matemática?

Razão é a comparação entre duas grandezas feita por divisão, e proporção é a igualdade entre duas razões. Quando duas razões formam uma proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Essa propriedade é o que permite descobrir um valor desconhecido com uma multiplicação cruzada.

Razão e proporção é a mesma coisa que regra de três?

Não é a mesma coisa, mas uma vem da outra. A regra de três é a aplicação prática da propriedade fundamental da proporção para encontrar um quarto valor. Todo exercício de regra de três é uma proporção montada, só que com o passo a passo já organizado em duas colunas.

Como calcular razão e proporção passo a passo?

Primeiro iguale as unidades das grandezas comparadas. Depois escreva as duas razões na mesma ordem, uma de cada lado da igualdade. Em seguida multiplique em cruz e isole a incógnita. Por fim, confira se o resultado faz sentido no contexto do enunciado.

Como identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais?

Imagine que uma das grandezas dobra e pergunte o que acontece com a outra. Se ela também dobra, a relação é direta. Se ela cai pela metade, a relação é inversa, e você precisa inverter uma das razões antes de multiplicar em cruz.

Razão e proporção cai em prova de nível médio?

Cai com frequência em concursos de nível fundamental e médio, principalmente em cargos administrativos e de apoio. Costuma vir junto com porcentagem e regra de três, em questões que valem a mesma pontuação das demais e consomem bem menos tempo. É um dos melhores custos de estudo do programa de matemática.

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