Fração geratriz: como transformar dízima em fração

Atualizado em 08/10 às 01h

0,(9) com os noves repetindo para sempre é exatamente igual a 1, e não "quase 1". A fração geratriz demonstra isso em três linhas, e é a mesma ferramenta que a banca cobra quando pede para transformar 0,8(3) em fração.

Fração geratriz é a fração que gera uma dízima periódica quando você faz a divisão. Para encontrá-la na dízima simples, o numerador é o período e o denominador tem tantos noves quantos forem os algarismos do período: 0,(7) vale 7/9 e 0,(25) vale 25/99. Na dízima composta, subtrai-se o antiperíodo e o denominador recebe noves seguidos de zeros.

Uma convenção de leitura para este texto: o algarismo que repete aparece entre parênteses. Assim, 0,(3) significa zero vírgula três com o três repetindo para sempre, e 0,8(3) significa zero vírgula oito três três três, com apenas o três repetindo.

Atualizado em 8 de outubro de 2026.

O que é fração geratriz?

Toda dízima periódica é um número racional, ou seja, pode ser escrita como fração de dois inteiros. Essa fração é a geratriz. O nome vem do fato de ela "gerar" a dízima: divida 1 por 3 e aparecem infinitos três; divida 7 por 9 e aparecem infinitos sete.

Dízima periódica é o decimal infinito em que um bloco de algarismos se repete sem parar. O bloco que repete chama-se período. Se existe algum algarismo entre a vírgula e o início da repetição, esse algarismo é o antiperíodo, e a dízima passa a ser classificada como composta.

A distinção importa porque muda a conta. Em 0,(7) o período começa imediatamente após a vírgula, então a dízima é simples. Em 0,8(3) o 8 não repete e os três repetem, então há antiperíodo e a dízima é composta. Confundir os dois casos é o erro número um do assunto, e ele custa a questão inteira.

Dízima não é número irracional:

Vale fixar essa diferença, porque bancas gostam de cobrá-la em item de certo ou errado. Dízima periódica é racional e tem geratriz. Número irracional, como a raiz quadrada de 2 ou o número pi, tem decimal infinito e não periódico, e por isso não admite fração geratriz nenhuma. Se a banca afirmar que 0,(3) é irracional, o item está errado.

Dízima simples e dízima composta:

Os dois tipos cobrem tudo o que aparece em prova. A tabela abaixo separa o que é período e o que é antiperíodo em cada exemplo.

Dízima	Tipo	Antiperíodo	Período
0,(3)	Simples	Não tem	3
0,(25)	Simples	Não tem	25
0,(123)	Simples	Não tem	123
0,1(6)	Composta	1	6
0,8(3)	Composta	8	3
0,4(18)	Composta	4	18

Dízima periódica simples:

O período encosta na vírgula. A geratriz sai direto: período no numerador, tantos noves no denominador quantos forem os algarismos do período. Assim, 0,(3) vale 3/9, que simplifica para 1/3; 0,(25) vale 25/99, que já está na forma mais simples; e 0,(123) vale 123/999, que simplifica para 41/333 ao dividir numerador e denominador por 3.

Essa simplificação final é onde muitos candidatos perdem ponto. A banca costuma colocar nas alternativas tanto a fração bruta quanto a simplificada, e pede a fração irredutível. Saber os critérios de divisibilidade resolve esse último passo em segundos.

Dízima periódica composta:

Existe antiperíodo entre a vírgula e a repetição. A regra muda de forma. Monte o numerador escrevendo antiperíodo e período juntos, como se fossem um número só, e subtraia desse número apenas o antiperíodo. No denominador, coloque um nove para cada algarismo do período, seguido de um zero para cada algarismo do antiperíodo.

Em 0,8(3) o antiperíodo é 8 e o período é 3. O numerador fica 83 − 8 = 75. O denominador tem um nove, pelo período de um algarismo, e um zero, pelo antiperíodo de um algarismo, logo 90. A geratriz é 75/90, que simplifica para 5/6. Confira na calculadora: 5 dividido por 6 dá 0,8(3) com os três repetindo.

A regra prática, sem decoreba:

Em vez de memorizar duas regras soltas, vale entender de onde elas saem, porque isso protege você no dia em que a memória falhar. O raciocínio usa equação do primeiro grau e cabe em cinco passos.

Chame a dízima de x. Em 0,(7), escreva x = 0,(7) e multiplique os dois lados por 10, o que dá 10x = 7,(7). Subtraia a primeira igualdade da segunda: 10x − x = 7,(7) − 0,(7), e a parte infinita se cancela, sobrando 9x = 7. Portanto x = 7/9. É daí que vem o nove do denominador: ele é o 10 menos 1 da subtração.

Na dízima composta o truque é o mesmo, com uma multiplicação a mais para empurrar o antiperíodo para a esquerda da vírgula antes de subtrair. Por isso o denominador ganha zeros: eles contam quantas casas o antiperíodo ocupou.

Caso	Numerador	Denominador	Exemplo
Simples, 1 algarismo no período	Período	9	0,(7) = 7/9
Simples, 2 algarismos no período	Período	99	0,(25) = 25/99
Simples, 3 algarismos no período	Período	999	0,(123) = 41/333
Composta, 1 e 1	Antiperíodo e período, menos o antiperíodo	90	0,1(6) = 1/6
Composta, 1 antiperíodo e 2 período	Antiperíodo e período, menos o antiperíodo	990	0,4(18) = 23/55

Um macete que funciona de verdade: conte os algarismos que repetem e escreva esse número de noves; depois conte os algarismos que não repetem depois da vírgula e escreva esse número de zeros. O que não funciona é o atalho de "somar nove ao numerador" ou qualquer variação que circula em resumo de internet, porque ele acerta por coincidência em 0,(7) e erra em todo caso composto.

Como as bancas cobram dízima periódica?

A forma mais direta pede a fração irredutível de uma dízima dada, com cinco alternativas em que duas ou três são frações plausíveis vindas de erros clássicos. O item é rápido e a banca sabe disso, então às vezes aumenta a dificuldade pedindo a soma ou o produto de duas geratrizes.

Outro formato recorrente mistura o tema com operações com frações: a questão apresenta uma expressão com duas dízimas e pede o resultado em forma de fração. Nesse caso é obrigatório converter antes de operar, porque somar decimais truncados gera resposta errada por arredondamento. Bancas como a Vunesp, a FCC e a Cesgranrio usam esse desenho com frequência em cargos de nível médio.

Há ainda o item conceitual, em que a banca não pede conta nenhuma e sim a classificação do número: racional ou irracional, dízima simples ou composta. Vale duas linhas de leitura e um ponto inteiro.

Exercício resolvido:

Comece pelo item de aquecimento e só depois leia a solução do segundo, que está no padrão de prova.

Exercício 1, dízima simples:

Escreva 0,(6) na forma de fração irredutível.

Classifique a dízima: o 6 começa logo depois da vírgula, então é dízima simples.
Identifique o período: é 6, com um único algarismo.
Monte a geratriz: numerador 6, denominador com um nove, ou seja, 6/9.
Simplifique dividindo numerador e denominador por 3: chega-se a 2/3.
Confira pela divisão: 2 dividido por 3 dá 0,(6), o que fecha a verificação.

Resposta: 2/3. A alternativa 6/9 aparece em prova para pegar quem esquece de simplificar, e a alternativa 3/5 aparece para pegar quem confunde 0,(6) com 0,6 exato.

Exercício 2, nível de prova (questão adaptada ao estilo das bancas):

Determine a fração irredutível correspondente a 0,8(3), em que apenas o algarismo 3 se repete.

Classifique a dízima: o 8 não repete e o 3 repete, logo é dízima composta.
Separe as partes: antiperíodo 8, com um algarismo; período 3, com um algarismo.
Monte o numerador juntando antiperíodo e período e subtraindo o antiperíodo: 83 − 8 = 75.
Monte o denominador: um nove pelo algarismo do período, um zero pelo algarismo do antiperíodo, resultando em 90.
Escreva a geratriz: 75/90.
Simplifique por 15, que é o máximo divisor comum entre 75 e 90: resulta 5/6.
Confira pela divisão: 5 dividido por 6 dá 0,8(3), confirmando o resultado.

Resposta: 5/6. Os distratores previsíveis aqui são 83/99, de quem aplicou a regra da dízima simples, e 75/99, de quem acertou o numerador e errou o denominador por esquecer o zero do antiperíodo.

Um terceiro caso, com parte inteira:

Quando a dízima tem parte inteira, como 2,3(4), separe a parte inteira e trabalhe só com a parte decimal. Em 0,3(4) o antiperíodo é 3 e o período é 4, então o numerador é 34 − 3 = 31 e o denominador é 90, dando 31/90. Somando a parte inteira: 2 + 31/90 = 211/90. A divisão de 211 por 90 devolve 2,3(4), como esperado.

Erros mais comuns em fração geratriz:

Aplicar a regra da dízima simples em dízima composta, esquecendo de subtrair o antiperíodo.
Contar os zeros do denominador pelos algarismos do período em vez dos do antiperíodo.
Parar na fração bruta quando o enunciado pede a fração irredutível.
Tratar dízima periódica como número irracional em item de certo ou errado.
Arredondar a dízima para três casas antes de calcular, o que muda o resultado final.
Esquecer a parte inteira ao somar, entregando 31/90 onde a resposta era 211/90.

Treinar esse assunto rende rápido porque o número de casos é pequeno e finito. Quinze a vinte questões bem escolhidas em um banco de questões por assunto costumam bastar para fixar as duas regras, e vale repetir o bloco depois de uma semana para checar a retenção.

Tabela de consulta rápida:

Dízima	Geratriz	Irredutível
0,(3)	3/9	1/3
0,(6)	6/9	2/3
0,(7)	7/9	7/9
0,(9)	9/9	1
0,(25)	25/99	25/99
0,(72)	72/99	8/11
0,1(6)	15/90	1/6
0,2(3)	21/90	7/30
0,8(3)	75/90	5/6
0,4(18)	414/990	23/55

Guarde a linha do 0,(9), porque ela responde a pergunta conceitual que abre este texto: a geratriz é 9/9, que vale exatamente 1. Não é aproximação, é igualdade.

Esse conteúdo está previsto no trabalho com números racionais ao longo do Ensino Fundamental, conforme a Base Nacional Comum Curricular, documento oficial do Ministério da Educação, e também aparece no componente de Matemática do Encceja, exame do Inep. É por isso que editais de nível fundamental e médio cobram o tema sem detalhar: ele consta como "números racionais e suas representações".

Depois de fechar dízima periódica, os próximos passos naturais são potenciação e radiciação, notação científica, razão e proporção e regra de três composta. Quem vai para cargos com peso em números deve seguir também para matemática financeira e estatística descritiva, assuntos em que fração aparece dentro de quase toda fórmula. O cálculo de MMC e MDC ajuda na simplificação, e o cronograma de estudos deve reservar um bloco curto por semana para revisar aritmética básica. Para quem está começando, o guia de matemática para concurso de nível médio mostra em qual ordem atacar os temas.

Perguntas frequentes:

O que é fração geratriz de uma dízima periódica?

É a fração de números inteiros que, ao ser dividida, produz aquela dízima. Como toda dízima periódica é um número racional, toda dízima tem geratriz. A fração 1/3, por exemplo, é a geratriz de 0,(3), e 5/6 é a geratriz de 0,8(3).

Como transformar dízima periódica em fração?

Se a dízima é simples, coloque o período no numerador e tantos noves no denominador quantos forem os algarismos do período. Se é composta, o numerador é o número formado por antiperíodo e período menos o antiperíodo, e o denominador leva um nove por algarismo do período seguido de um zero por algarismo do antiperíodo. Simplifique no fim, porque a banca quase sempre pede a fração irredutível.

Qual a diferença entre dízima simples e composta?

Na simples, a repetição começa imediatamente depois da vírgula, como em 0,(25). Na composta, existe pelo menos um algarismo que não repete entre a vírgula e o período, como o 8 de 0,8(3). Essa diferença muda a fórmula da geratriz, então classificar o número é sempre o primeiro passo da resolução.

Dízima periódica é número racional ou irracional?

É racional, sem exceção, justamente porque pode ser escrita como fração de dois inteiros. Decimal infinito só é irracional quando não tem período, caso da raiz quadrada de 2 e do número pi. Essa distinção aparece com frequência em questões conceituais de certo ou errado.

0,(9) é igual a 1?

Sim, é exatamente igual. Aplicando a regra da dízima simples, o período é 9 e a geratriz fica 9/9, que vale 1. Não há diferença alguma entre os dois números, apenas duas formas de escrever o mesmo valor.

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