Equação do segundo grau: Bhaskara e questões de prova

Quando o termo independente de uma equação do segundo grau é zero, aplicar Bhaskara é desperdício: uma das raízes já é o próprio zero. E o discriminante revela quantas respostas existem antes de qualquer cálculo de raiz.

Equação do segundo grau é toda equação que pode ser escrita na forma ax ao quadrado mais bx mais c igual a zero, com a diferente de zero. As raízes saem da fórmula de Bhaskara, e o discriminante, calculado por b ao quadrado menos 4ac, indica se existem duas raízes reais, uma só ou nenhuma.

Atualizado em 7 de outubro de 2026.

Neste guia você encontra:

• O que é uma equação do segundo grau?
• Os coeficientes a, b e c: como identificar sem errar.
• Fórmula de Bhaskara: o passo a passo do cálculo.
• O discriminante decide quantas raízes existem:
• Equações incompletas: quando Bhaskara é desperdício.
• Soma e produto das raízes: o atalho que economiza tempo.
• Exercício resolvido:
• Como as bancas cobram equação do segundo grau?
• Os erros que mais tiram ponto nesse assunto.
• Perguntas frequentes:

O que é uma equação do segundo grau?

É toda equação que, depois de organizada, fica na forma ax ao quadrado mais bx mais c igual a zero, com a diferente de zero. O expoente 2 na incógnita é o que define o grau, e a exigência de a diferente de zero existe porque, sem o termo quadrático, a equação volta a ser de primeiro grau.

Essa condição é cobrada com frequência em alternativas que pedem para identificar qual expressão é uma equação do segundo grau. Se o enunciado traz algo como 2x mais 5 igual a zero, trata-se de equação do primeiro grau, assunto com método próprio de resolução.

Antes de montar a fórmula, iguale tudo a zero. Uma equação como x ao quadrado igual a 3x mais 10 precisa virar x ao quadrado menos 3x menos 10 igual a zero. Essa reorganização é a origem de boa parte dos erros de sinal, e vale revisar potenciação e radiciação para operar com segurança nas etapas seguintes.

Os coeficientes a, b e c: como identificar sem errar.

O coeficiente a acompanha o termo com x ao quadrado, o b acompanha o termo com x, e o c é o termo independente. O sinal faz parte do coeficiente, e é exatamente aí que a maioria dos erros nasce.

Equação	a	b	c
x ao quadrado menos 5x mais 6 igual a zero	1	-5	6
2x ao quadrado mais 3x menos 2 igual a zero	2	3	-2
menos x ao quadrado mais 4 igual a zero	-1	0	4
3x ao quadrado menos 12x igual a zero	3	-12	0

Observe as duas últimas linhas da tabela. Quando falta o termo em x, o b vale zero; quando falta o termo independente, o c vale zero. Nenhum dos dois casos impede a equação de ser de segundo grau, porque a continua diferente de zero.

Quando o coeficiente de x ao quadrado aparece sem número escrito, ele vale 1, e com um sinal negativo na frente vale menos 1. Parece óbvio, mas é um dos deslizes mais comuns em prova cronometrada.

Fórmula de Bhaskara: o passo a passo do cálculo.

A fórmula entrega as raízes em quatro passos: identificar os coeficientes, calcular o discriminante, extrair a raiz quadrada dele e aplicar a divisão final. O discriminante é b ao quadrado menos 4ac, e as raízes são menos b mais ou menos a raiz do discriminante, tudo dividido por 2a.

Aplique em x ao quadrado menos 5x mais 6 igual a zero. Os coeficientes são a igual a 1, b igual a menos 5 e c igual a 6. O discriminante fica 25 menos 24, ou seja, 1. A raiz quadrada de 1 é 1, então as raízes são 5 mais 1 sobre 2, que dá 3, e 5 menos 1 sobre 2, que dá 2.

Repare no sinal de menos b. Como b era menos 5, o menos b vira mais 5. Trocar esse sinal é o erro número um do tópico, e ele custa a questão inteira mesmo com todo o resto correto.

Confira sempre a resposta substituindo as raízes na equação original. Com x igual a 3, temos 9 menos 15 mais 6, que resulta em zero. Com x igual a 2, temos 4 menos 10 mais 6, que também resulta em zero. A conferência leva dez segundos e elimina o erro de sinal.

O discriminante decide quantas raízes existem:

O sinal do discriminante informa a quantidade de raízes reais antes de qualquer outro cálculo. Em questões que perguntam apenas quantas soluções a equação tem, essa conta sozinha resolve o item.

Discriminante	Quantidade de raízes reais	O que acontece no gráfico
Maior que zero	Duas raízes reais e distintas	A parábola corta o eixo x em dois pontos
Igual a zero	Uma raiz real, chamada de dupla	A parábola toca o eixo x em um único ponto
Menor que zero	Nenhuma raiz real	A parábola não cruza o eixo x

Questões mais elaboradas invertem o raciocínio: dão a quantidade de raízes e pedem o valor de um parâmetro. Nesse caso, monte a condição sobre o discriminante e resolva a inequação resultante. O comportamento gráfico da parábola é explorado em detalhe no material sobre função do primeiro grau, que serve de base para entender a leitura de gráficos na prova.

Equações incompletas: quando Bhaskara é desperdício.

Quando b ou c valem zero, existe caminho mais rápido que a fórmula completa. Reconhecer esses dois casos economiza um minuto por questão, e um minuto em prova objetiva vale muito.

Quando c vale zero: fatore e resolva.

Em 3x ao quadrado menos 12x igual a zero, coloque o x em evidência: x vezes o fator 3x menos 12 igual a zero. Um produto é zero quando um dos fatores é zero, então x igual a zero é uma raiz, e 3x menos 12 igual a zero entrega x igual a 4. Toda equação sem termo independente tem o zero como uma das raízes, e isso serve de conferência imediata.

Quando b vale zero: isole o quadrado.

Em menos x ao quadrado mais 4 igual a zero, isole o termo quadrático: x ao quadrado igual a 4. As raízes são 2 e menos 2. Atenção ao sinal duplo, porque esquecer a raiz negativa é erro clássico. Se o isolamento levar a um quadrado igual a número negativo, não existe raiz real, e o item que pedir duas soluções está errado.

Operar com frações nesses isolamentos exige cuidado extra, e o guia sobre operações com frações cobre as armadilhas mais frequentes.

Soma e produto das raízes: o atalho que economiza tempo.

A soma das raízes é menos b dividido por a, e o produto é c dividido por a. Com essas duas relações você descobre as raízes de cabeça em equações com números pequenos, sem montar a fórmula.

Volte a x ao quadrado menos 5x mais 6 igual a zero. A soma é 5 e o produto é 6. Quais dois números somam 5 e multiplicam 6? São 3 e 2, exatamente as raízes já calculadas. Em prova, esse raciocínio resolve a questão em segundos.

As relações também servem para montar a equação a partir das raízes, pedido comum em concursos de nível médio. Se as raízes são 7 e menos 2, a soma é 5 e o produto é menos 14, então a equação é x ao quadrado menos 5x menos 14 igual a zero. Note que o coeficiente de x recebe o oposto da soma.

Esse tipo de atalho aparece em vários tópicos da disciplina e é o que separa quem termina a prova de quem deixa questões em branco. O panorama do que priorizar está no guia de matemática para concurso de nível médio.

Exercício resolvido:

Um terreno retangular tem 40 metros de perímetro e área de 96 metros quadrados. Quais são as dimensões do terreno?

Chame as dimensões de x e y. O perímetro dá 2 vezes a soma de x e y igual a 40, logo x mais y igual a 20. A área dá x vezes y igual a 96. Você tem a soma e o produto de dois números, e é justamente o que a equação do segundo grau resolve.

Monte a equação cuja soma das raízes é 20 e cujo produto é 96: t ao quadrado menos 20t mais 96 igual a zero. O discriminante é 400 menos 384, que dá 16. A raiz quadrada de 16 é 4, então as raízes são 20 mais 4 sobre 2, que dá 12, e 20 menos 4 sobre 2, que dá 8.

As dimensões são 12 metros e 8 metros. Confira: o perímetro é 2 vezes 20, igual a 40 metros, e a área é 12 vezes 8, igual a 96 metros quadrados. A conferência fecha, e esse formato de problema, que começa em geometria e termina em equação, é um dos preferidos das bancas. Vale cruzar o tema com o material de geometria plana.

Como as bancas cobram equação do segundo grau?

Três formatos cobrem quase tudo: o cálculo direto das raízes, o problema de enunciado que precisa ser traduzido em equação e a questão sobre o discriminante, que pergunta a quantidade de raízes ou o valor de um parâmetro. O problema de enunciado é o mais frequente.

Em cargos de nível médio, a cobrança costuma vir com números inteiros pequenos e raízes exatas, o que favorece o atalho da soma e do produto. Em cargos de nível superior e em provas de áreas técnicas, aparecem parâmetros e condições sobre o discriminante.

Vale observar o tipo de resposta pedida. Algumas questões querem a soma das raízes, não as raízes em si, e nesse caso basta calcular menos b sobre a. Ler o que a questão pede antes de calcular é a economia de tempo mais barata que existe, e o hábito se constrói resolvendo volume, raciocínio defendido no texto sobre o método de estudo por questões.

Para treinar com filtro por assunto e por banca, um banco de questões bem usado permite isolar só equação do segundo grau e resolver vinte itens seguidos, que é o que fixa o procedimento.

Os erros que mais tiram ponto nesse assunto.

• Trocar o sinal de menos b quando o coeficiente b já é negativo.
• Esquecer de igualar a equação a zero antes de identificar os coeficientes.
• Aplicar Bhaskara em equação incompleta, perdendo tempo sem necessidade.
• Apresentar só a raiz positiva quando o isolamento do quadrado gera duas soluções.
• Calcular as raízes quando a questão pedia apenas a soma ou o produto delas.
• Dividir por 2a apenas o termo da raiz quadrada, e não a expressão inteira.
• Concluir que existem duas raízes reais quando o discriminante é negativo.

Erros de sinal se corrigem com registro e repetição. Anotar cada um em um caderno de erros e revisar o procedimento em intervalos crescentes, como ensina o guia de revisão espaçada, resolve o problema em poucas semanas.

Resumo para revisar na véspera:

• Forma geral: ax ao quadrado mais bx mais c igual a zero, com a diferente de zero.
• Discriminante: b ao quadrado menos 4ac.
• Raízes: menos b mais ou menos a raiz do discriminante, sobre 2a.
• Discriminante positivo dá duas raízes, zero dá uma, negativo dá nenhuma real.
• Soma das raízes: menos b sobre a. Produto das raízes: c sobre a.
• Sem termo independente, o zero é sempre uma das raízes.
• Sem termo em x, isole o quadrado e lembre do sinal duplo.
• Para montar a equação pelas raízes, use o oposto da soma e o produto.
• Sempre substitua as raízes na equação original para conferir.

Esse conteúdo é base para outros tópicos cobrados logo adiante. Depois dele, reforce razão e proporção e progressão aritmética e geométrica, que aparecem nos mesmos editais. Quem vai enfrentar provas com estatística deve somar estatística descritiva e probabilidade ao plano. Para quem está recomeçando do zero, o caminho completo está no guia de raciocínio lógico para concurso, e as operações de base aparecem em MMC e MDC e em critérios de divisibilidade.

Perguntas frequentes:

Qual é a fórmula de Bhaskara?

As raízes são dadas por menos b mais ou menos a raiz quadrada do discriminante, tudo dividido por 2a. O discriminante é calculado por b ao quadrado menos 4ac. A divisão por 2a vale para a expressão inteira do numerador, e não apenas para o termo da raiz quadrada.

Como saber quantas raízes a equação tem?

Calcule o discriminante, que é b ao quadrado menos 4ac. Se o resultado for positivo, existem duas raízes reais distintas. Se for igual a zero, existe uma única raiz real, chamada de raiz dupla. Se for negativo, não existe raiz real, e a parábola não cruza o eixo x.

Quando a equação do segundo grau é incompleta?

Quando o coeficiente b ou o coeficiente c vale zero. Sem o termo independente, basta colocar o x em evidência, e o zero será uma das raízes. Sem o termo em x, isole o quadrado e extraia a raiz, lembrando que o resultado tem sinal positivo e negativo.

Para que servem a soma e o produto das raízes?

Servem para achar as raízes de cabeça em equações com números pequenos e para montar a equação quando as raízes são conhecidas. A soma é menos b sobre a e o produto é c sobre a. É o atalho que mais economiza tempo nesse tópico em prova objetiva.

Equação do segundo grau cai em concurso de nível médio?

Sim, e com frequência. Em cargos de nível médio ela aparece principalmente em problemas de enunciado, com números inteiros e raízes exatas, muitas vezes ligados a área, perímetro ou idade. Em cargos de nível superior surgem condições sobre o discriminante e equações com parâmetros.

Chegue na prova com o procedimento automático.

Saber a fórmula não basta: o que decide a questão é identificar o caso em segundos e não errar sinal sob pressão de tempo. No Portal Concursos você resolve equação do segundo grau em questões comentadas de provas reais das bancas e acompanha em simulados com desempenho detalhado quanto tempo gasta em cada tópico. Conheça os planos e confira o conteúdo incluído.