Progressão aritmética e geométrica: fórmulas e questões!

Atualizado em 03/10 às 15h

A soma dos cem primeiros números naturais sai em uma linha pela fórmula da progressão aritmética: 5.050. Quem tenta somar na mão perde cinco minutos de prova e ainda erra.

Progressão aritmética é a sequência em que cada termo se obtém somando uma razão constante ao anterior. Progressão geométrica é a sequência em que cada termo se obtém multiplicando o anterior por uma razão constante. Em prova, a diferença entre as duas se resolve em um teste de três segundos: se a diferença entre termos vizinhos é fixa, é PA; se o quociente é fixo, é PG.

As seis fórmulas que resolvem quase toda questão de PA e PG.

O que são progressão aritmética e geométrica?

Progressão aritmética, ou PA, é uma sequência numérica em que a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é a razão, representada por r. Na sequência 2, 5, 8, 11, 14, a razão é 3.

Progressão geométrica, ou PG, é uma sequência em que o quociente entre dois termos consecutivos é sempre o mesmo. Esse quociente é a razão, representada por q. Na sequência 3, 6, 12, 24, 48, a razão é 2.

Por que esse assunto aparece tanto em concurso?

Porque ele permite montar questão com enunciado curto, solução fechada e resposta única, o que é ideal para prova objetiva. Aparece em matemática pura, em raciocínio lógico na forma de sequência numérica e, disfarçado, em matemática financeira, porque juros compostos são uma PG.

Como saber se é progressão aritmética ou geométrica?

Faça duas contas com os três primeiros termos. Subtraia o segundo do primeiro e o terceiro do segundo: se o resultado for igual, é PA. Divida o segundo pelo primeiro e o terceiro pelo segundo: se o resultado for igual, é PG.

Sequência	Diferenças	Quocientes	Conclusão
4, 9, 14, 19	5, 5, 5	2,25 e 1,56	PA de razão 5.
2, 6, 18, 54	4, 12, 36	3, 3, 3	PG de razão 3.
1, 4, 9, 16	3, 5, 7	4 e 2,25	Nenhuma das duas, são quadrados perfeitos.
7, 7, 7, 7	0, 0, 0	1, 1, 1	PA constante e PG de razão 1 ao mesmo tempo.

A última linha é a pegadinha preferida das bancas. Uma sequência de termos iguais e não nulos satisfaz as duas definições, e o enunciado que afirma ser possível uma sequência ser PA e PG simultaneamente está correto.

Progressão aritmética: fórmulas e propriedades.

Termo geral da PA.

O termo de posição n é dado por a_n = a₁ + (n - 1) × r, em que a₁ é o primeiro termo, n é a posição e r é a razão. O detalhe que mais derruba candidato é o (n - 1), e não n: para chegar ao décimo termo você soma a razão nove vezes, não dez.

Soma dos termos de uma PA finita.

A soma dos n primeiros termos é S_n = (a₁ + a_n) × n / 2. A lógica é a de Gauss: some o primeiro com o último, multiplique pela quantidade de termos e divida por dois, porque cada par de extremos equidistantes tem a mesma soma.

Classificação da PA.

Crescente quando a razão é positiva.
Decrescente quando a razão é negativa.
Constante, ou estacionária, quando a razão é zero.

Propriedade do termo médio.

Em três termos consecutivos de uma PA, o termo do meio é a média aritmética dos vizinhos. Se a sequência x, 11, 20 é uma PA, então 11 é a média de x e 20, logo x vale 2. Essa propriedade resolve questão de termo desconhecido sem montar sistema.

Interpolação aritmética.

Interpolar k meios aritméticos entre dois números é montar uma PA que começa e termina nesses números. A sequência final terá k mais 2 termos, e a razão sai de r = (a_n - a₁) / (k + 1). Inserir 4 meios entre 3 e 23 dá razão igual a 4, formando 3, 7, 11, 15, 19, 23.

Progressão geométrica: fórmulas e propriedades.

Termo geral da PG.

O termo de posição n é a_n = a₁ × q^{n - 1,} em que q é a razão. Mesma armadilha da PA: o expoente é n menos 1. No quinto termo de uma PG de razão 2 começando em 3, a conta é 3 vezes 2 elevado a 4, que dá 48.

Soma dos termos de uma PG finita.

Para razão diferente de 1, vale S_n = a₁ × (qⁿ - 1) / (q - 1). Quando a razão é exatamente 1, todos os termos são iguais e a soma é simplesmente o primeiro termo multiplicado pela quantidade de termos.

Soma de uma PG infinita.

Quando o módulo da razão é menor que 1, a PG infinita converge e a soma de todos os termos é S = a₁ / (1 - q). Na PG 8, 4, 2, 1 e assim por diante, com razão igual a um meio, a soma de infinitos termos é 16. Se o módulo da razão for maior ou igual a 1, a soma não converge e a fórmula não se aplica.

Propriedade do termo médio na PG.

Em três termos consecutivos de uma PG de termos positivos, o termo do meio é a média geométrica dos vizinhos, ou seja, o quadrado do termo médio é igual ao produto dos extremos. Na sequência 4, x, 25, o valor de x é a raiz de 100, igual a 10.

Classificação da PG.

Crescente quando o primeiro termo é positivo e a razão é maior que 1.
Decrescente quando o primeiro termo é positivo e a razão fica entre 0 e 1.
Alternante, ou oscilante, quando a razão é negativa e os sinais se alternam.
Constante quando a razão é igual a 1.

Todas as fórmulas de PA e PG em uma tabela:

O que você precisa	Progressão aritmética	Progressão geométrica
Razão	r = a₂ - a₁	q = a₂ / a₁
Termo geral	a_n = a₁ + (n - 1) × r	a_n = a₁ × q^{n - 1}
Soma finita	S_n = (a₁ + a_n) × n / 2	S_n = a₁ × (qⁿ - 1) / (q - 1)
Soma infinita	não existe, a PA não converge	S = a₁ / (1 - q), válida para módulo de q menor que 1
Termo médio	média aritmética dos vizinhos	média geométrica dos vizinhos
Interpolação	r = (a_n - a₁) / (k + 1)	q sai da raiz de índice k mais 1 do quociente entre os extremos

Exercícios resolvidos passo a passo.

Exercício 1, termo geral de PA.

Enunciado: em uma progressão aritmética, o primeiro termo é 7 e a razão é 5. Qual é o vigésimo termo?

Solução: aplique a_n = a₁ + (n - 1) × r, com a₁ igual a 7, n igual a 20 e r igual a 5. Fica 7 mais 19 vezes 5, que é 7 mais 95. Resposta: 102. Se você multiplicar por 20 em vez de 19, chega a 107, que é justamente a alternativa armada para quem esquece o menos um.

Exercício 2, soma de PA.

Enunciado: qual é a soma dos múltiplos de 4 entre 1 e 100?

Solução: os múltiplos formam a PA 4, 8, 12 até 100, com razão 4. Primeiro descubra quantos termos existem: 100 igual a 4 mais (n menos 1) vezes 4 leva a n igual a 25. Agora some pelos extremos: (4 mais 100) vezes 25 dividido por 2, ou seja, 104 vezes 25 sobre 2. Resposta: 1.300.

Exercício 3, PG com soma infinita.

Enunciado: uma bola é solta de 9 metros e, a cada quique, atinge dois terços da altura anterior. Qual é a soma das alturas de subida?

Solução: as alturas de subida formam uma PG com primeiro termo igual a 6 metros, que é dois terços de 9, e razão de dois terços. Como o módulo da razão é menor que 1, use S igual a a₁ sobre 1 menos q: 6 dividido por um terço. Resposta: 18 metros. O erro clássico aqui é usar 9 como primeiro termo, confundindo a queda inicial com a primeira subida.

Exercício 4, identificação do tipo.

Enunciado: a sequência 5, 5, 5, 5 pode ser classificada como progressão aritmética e também como progressão geométrica?

Solução: sim. A diferença entre termos consecutivos é zero, constante, o que caracteriza PA de razão zero. O quociente entre termos consecutivos é 1, constante, o que caracteriza PG de razão 1. Como nenhum termo é nulo, a divisão é válida e as duas classificações convivem.

Como as bancas cobram PA e PG?

Quatro formatos concentram quase tudo: achar um termo distante, somar uma quantidade de termos, descobrir o primeiro termo ou a razão a partir de dois termos conhecidos e identificar o tipo de sequência. O enunciado quase sempre vem contextualizado em produção, população, parcelas ou empilhamento de objetos.

Como o assunto se disfarça no enunciado?

Crescimento fixo por mês, em reais ou em unidades, é PA.
Crescimento percentual fixo por período é PG.
Depreciação de valor a uma taxa fixa é PG decrescente.
Fileiras de assentos ou de latas, aumentando em quantidade constante, são PA.
Duplicação ou redução pela metade a cada etapa é PG.

Reconhecer o disfarce vale mais do que decorar fórmula, porque a conta é curta depois que você identifica o tipo. Esse mesmo hábito de ler o enunciado procurando a estrutura ajuda em análise combinatória, em probabilidade e na teoria dos conjuntos.

Bancas que cobram com mais frequência.

Sequências numéricas aparecem com regularidade em provas de nível médio e em blocos de raciocínio lógico de nível superior. Vale conferir o estilo de cobrança da sua banca antes de calibrar o estudo: veja como funcionam as provas da FGV e da Vunesp, que tratam o tema de maneiras bem diferentes.

Quais erros mais custam ponto em PA e PG?

Usar n em vez de n menos 1 no termo geral, tanto na PA quanto na PG.
Aplicar a fórmula da soma infinita quando o módulo da razão é maior ou igual a 1.
Esquecer de descobrir a quantidade de termos antes de somar.
Confundir crescimento absoluto fixo, que é PA, com crescimento percentual fixo, que é PG.
Usar a fórmula geral da soma da PG quando a razão é 1, caso em que ela gera divisão por zero.
Tomar a altura de queda como primeiro termo em problema de quique de bola.

Metade desses erros é pressa, não desconhecimento. Se você acerta no caderno e erra na prova, o problema provavelmente está na gestão do tempo durante a prova, e não no conteúdo. Vale também revisar MMC e MDC, que aparecem em questões de múltiplos junto com progressões.

Onde treinar PA e PG com provas anteriores?

Prova anterior é o melhor material para esse assunto, porque o repertório de enunciados é limitado e se repete. As bancas disponibilizam os cadernos de concursos já encerrados nos próprios portais, como a página de concursos encerrados do Cebraspe, onde é possível baixar provas e gabaritos oficiais.

Monte a rotina em três passos. Primeiro, resolva vinte questões do tema sem cronômetro, só para firmar as fórmulas. Depois repita com tempo marcado, simulando a prova. Por último, refaça apenas as que você errou, uma semana depois. Esse ciclo cabe bem dentro de um cronograma de estudos e rende mais do que reler teoria. Se precisar de base antes disso, comece pelo guia de raciocínio lógico do zero ou pelo de matemática para nível médio. Para medir o resultado, use simulado cronometrado e um banco de questões.

Perguntas frequentes:

Como diferenciar progressão aritmética e geométrica?

Calcule a diferença e o quociente entre termos vizinhos. Se a diferença é constante, é progressão aritmética. Se o quociente é constante, é progressão geométrica. Uma sequência de termos iguais e não nulos satisfaz as duas definições ao mesmo tempo.

Quais são as fórmulas de PA e PG?

Na PA, o termo geral é a razão multiplicada por n menos 1 somada ao primeiro termo, e a soma finita é a média dos extremos multiplicada pela quantidade de termos. Na PG, o termo geral é o primeiro termo multiplicado pela razão elevada a n menos 1, e a soma finita usa a razão elevada a n menos 1 dividida pela razão menos 1. A PG com razão de módulo menor que 1 ainda tem soma infinita, dada pelo primeiro termo dividido por 1 menos a razão.

Uma sequência pode ser PA e PG ao mesmo tempo?

Pode, desde que todos os termos sejam iguais e diferentes de zero. Nesse caso a diferença entre termos consecutivos é zero, caracterizando PA, e o quociente é 1, caracterizando PG. É uma das afirmações verdadeiras que mais parecem falsas em questão de certo ou errado.

Quando a soma de uma PG infinita existe?

Só quando o módulo da razão é menor que 1, caso em que os termos diminuem e a soma converge para o primeiro termo dividido por 1 menos a razão. Com razão de módulo maior ou igual a 1, a soma cresce sem limite e a fórmula não pode ser usada. Conferir essa condição antes de calcular evita o erro mais comum do tema.

PA e PG caem em concurso de nível médio?

Caem com frequência, tanto no bloco de matemática quanto no de raciocínio lógico, geralmente em enunciados contextualizados sobre parcelas, produção ou empilhamento. Como as fórmulas são poucas e os padrões de enunciado se repetem, é um dos temas com melhor relação entre esforço e pontos ganhos.

Faça as fórmulas virarem automatismo:

PA e PG recompensam repetição: depois de cinquenta questões você identifica o tipo de sequência antes de terminar de ler o enunciado. Nos cursos do Portal Concursos você tem aula ao vivo para tirar a dúvida na hora em que ela aparece, banco de questões separado por tema e simulados cronometrados que treinam o reconhecimento sob pressão.