Propriedades dos logaritmos: regras e questões

Dois números resolvem metade das questões de logaritmo de concurso: log 2 igual a 0,30 e log 3 igual a 0,48. A banca entrega esses valores no enunciado e espera que você saiba quebrar o resto em multiplicação.

As propriedades dos logaritmos são as regras que transformam multiplicação em soma, divisão em subtração e potência em produto. São cinco regras operatórias e três consequências diretas da definição. Com elas, qualquer logaritmo vira uma conta de somar, e é por isso que a prova cobra sempre as mesmas.

Atualizado em 5 de outubro de 2026.

• O que é logaritmo?
• Condições de existência: o filtro que a banca adora.
• As propriedades dos logaritmos, uma a uma.
• Como as bancas cobram propriedades dos logaritmos?
• Exercício resolvido.
• Erros mais comuns.
• Resumo para a prova.
• Perguntas frequentes.

O que é logaritmo?

Logaritmo é o expoente. Quando você escreve log de 8 na base 2 igual a 3, está dizendo que 2 elevado a 3 resulta em 8. A definição formal é curta: logₐ b = c equivale a aᶜ = b. Toda questão de logaritmo começa voltando a essa equivalência.

Chamamos o a de base, o b de logaritmando e o c de logaritmo propriamente dito. Quando a base não aparece escrita, como em log 100, entende-se base 10, o chamado logaritmo decimal. Esse é o padrão nas provas de concurso, e log 100 vale 2 porque 10 ao quadrado é 100.

Três leituras rápidas para fixar a definição:

log₃ 81 vale 4, porque 3 elevado a 4 dá 81. log₅ 125 vale 3, porque 5 ao cubo dá 125. log₂ 32 vale 5, porque 2 elevado a 5 dá 32. Perceba o padrão: você não calcula nada, você pergunta qual expoente leva a base até o logaritmando.

Condições de existência: o filtro que a banca adora.

Nem todo logaritmo existe. Para logₐ b fazer sentido, três condições precisam valer ao mesmo tempo: o logaritmando b tem que ser maior que zero, a base a tem que ser maior que zero e a base a não pode ser igual a 1.

A razão da terceira condição é simples de ver: 1 elevado a qualquer expoente dá sempre 1, então não existe expoente que leve 1 até 8. Já a primeira condição elimina coisas como log de zero e log de número negativo, que simplesmente não têm resposta no conjunto dos reais.

Isso vira questão com frequência. Quando o enunciado traz uma expressão como log₂(x - 1), a banca quer que você escreva x - 1 maior que zero antes de resolver qualquer coisa, ou seja, x maior que 1. Candidato que resolve a equação e esquece de conferir a condição acaba marcando uma raiz que não serve.

As propriedades dos logaritmos, uma a uma.

Todas elas nascem das propriedades de potência, porque logaritmo é expoente. Quem entende essa origem não precisa decorar.

Logaritmo do produto:

O logaritmo de uma multiplicação é a soma dos logaritmos: logₐ(x vezes y) = logₐ x + logₐ y. Exemplo com os valores que a prova costuma entregar: log 6 é log de 2 vezes 3, ou seja, 0,3010 mais 0,4771, que dá 0,7781. Essa é a propriedade mais cobrada de todas, porque permite fatorar qualquer número e montar a resposta por partes.

Logaritmo do quociente:

O logaritmo de uma divisão é a diferença dos logaritmos: logₐ(x dividido por y) = logₐ x - logₐ y. Exemplo útil de guardar: log 5 é log de 10 dividido por 2, que dá 1 menos 0,3010, ou seja, 0,6990. Ou seja, mesmo sem receber o valor de log 5 no enunciado, você o obtém em uma linha.

Logaritmo da potência:

O expoente do logaritmando sai multiplicando na frente: logₐ(xⁿ) = n vezes logₐ x. Exemplo: log 9 é log de 3 ao quadrado, que vale 2 vezes 0,4771, ou seja, 0,9542. A mesma regra vale para raiz, porque raiz é potência de expoente fracionário: a raiz quadrada de x é x elevado a um meio.

Mudança de base:

Serve para escrever um logaritmo em qualquer base que você preferir: logₐ b = logᶜ b dividido por logᶜ a. Exemplo: log₄ 64 pode virar log₂ 64 dividido por log₂ 4, que é 6 dividido por 2, ou seja, 3. Conferindo pela definição, 4 ao cubo é mesmo 64. É a propriedade que resolve questão em que as bases são diferentes e não dá para somar nada.

As três consequências diretas:

Caem sozinhas em item de certo ou errado e valem ponto fácil. São elas: logₐ 1 = 0, porque qualquer base elevada a zero dá 1. logₐ a = 1, porque a base elevada a 1 é ela mesma. E a elevado a logₐ b = b, que é só a definição lida ao contrário.

Propriedade	Fórmula	Exemplo numérico	Resultado
Produto	logₐ(x·y) = logₐ x + logₐ y	log 6 = log 2 + log 3	0,3010 + 0,4771 = 0,7781
Quociente	logₐ(x/y) = logₐ x - logₐ y	log 5 = log 10 - log 2	1 - 0,3010 = 0,6990
Potência	logₐ(xⁿ) = n · logₐ x	log 9 = 2 · log 3	2 · 0,4771 = 0,9542
Mudança de base	logₐ b = logᶜ b / logᶜ a	log₄ 64 = log₂ 64 / log₂ 4	6 / 2 = 3
Log de 1	logₐ 1 = 0	log₇ 1	0
Log da própria base	logₐ a = 1	log₉ 9	1

Como as bancas cobram propriedades dos logaritmos?

O formato mais frequente é o enunciado que entrega uma tabelinha com log 2 e log 3 e pede o logaritmo de um número que se fatora nesses dois primos. Números como 6, 12, 18, 24, 36 e 72 aparecem muito justamente porque todos se escrevem com 2 e 3. FCC e FGV usam bastante esse desenho de questão, e o Cebraspe prefere transformar a propriedade em item de certo ou errado sobre uma igualdade. Dá para confirmar o padrão nas provas publicadas no site da FCC e da FGV.

O segundo formato: equação logarítmica.

Aqui a banca dá algo como log₂(x - 1) = 3 e quer o valor de x. Você volta para a definição, escreve x - 1 igual a 2 elevado a 3, chega a x - 1 igual a 8 e conclui que x vale 9. Antes de marcar, confira a condição de existência: 9 menos 1 dá 8, que é maior que zero, então a raiz serve.

O macete honesto, e o que ele não faz:

Funciona de verdade: fatorar o logaritmando em primos antes de qualquer coisa. Escrever 72 como 2³ vezes 3² transforma a questão em uma soma de dois produtos. Funciona também decorar que log 5 é 1 menos log 2, porque esse valor quase nunca vem no enunciado e cai direto.

Não funciona: tentar separar o logaritmo de uma soma. Não existe regra para log(x + y), e essa é a pegadinha número um da matéria. Também não funciona confundir log(x)² com 2 log x, porque no primeiro caso quem está ao quadrado é o logaritmo inteiro, não o logaritmando. E não adianta usar mudança de base quando as bases já são iguais: você só alonga a conta.

Exercício resolvido.

Exercício 1, nível de aquecimento:

Calcule log₂ 32 e, em seguida, o valor de log₃ 81 menos log₃ 9.

1. Para log₂ 32, pergunte qual expoente leva 2 até 32.
2. Liste as potências: 2 elevado a 4 dá 16, 2 elevado a 5 dá 32.
3. Logo, log₂ 32 vale 5.
4. Para a segunda parte, use a propriedade do quociente ao contrário: log₃ 81 menos log₃ 9 é o mesmo que log₃ de 81 dividido por 9.
5. Faça a divisão interna: 81 dividido por 9 dá 9.
6. Agora calcule log₃ 9, que vale 2, porque 3 ao quadrado é 9.
7. Conferindo pelo caminho longo: log₃ 81 vale 4 e log₃ 9 vale 2, e 4 menos 2 dá 2. Os dois caminhos batem.

Exercício 2, no nível de prova de concurso:

Questão adaptada, escrita no estilo da FCC. Considerando log 2 igual a 0,30 e log 3 igual a 0,48, qual é o valor de log 72?

1. Note que 72 não está na tabela dada, então ele precisa ser fatorado.
2. Fatore em primos: 72 é 8 vezes 9.
3. Escreva cada fator como potência: 8 é 2³ e 9 é 3².
4. Portanto 72 é 2³ vezes 3². Confira a multiplicação: 8 vezes 9 dá 72 mesmo.
5. Aplique a propriedade do produto: log 72 = log 2³ + log 3².
6. Aplique a propriedade da potência nos dois termos: log 72 = 3 vezes log 2 + 2 vezes log 3.
7. Substitua os valores dados: 3 vezes 0,30 mais 2 vezes 0,48.
8. Resolva as multiplicações: 0,90 mais 0,96.
9. Some: log 72 vale 1,86.

Confira a ordem de grandeza antes de marcar. Como 72 está entre 10 e 100, o logaritmo decimal dele tem que ficar entre 1 e 2, e 1,86 está nessa faixa. Essa checagem de bom senso pega erro de fatoração em dois segundos e vale para qualquer questão do tipo. Treinar isso no banco de questões é o que torna o reflexo automático.

Erros mais comuns.

• Tentar aplicar propriedade em logaritmo de soma. Não existe log(x + y) igual a log x mais log y, e essa é a troca que mais derruba candidato.
• Esquecer a condição de existência em equação logarítmica e aceitar uma raiz que deixa o logaritmando negativo ou zero.
• Confundir (log x)² com log(x²). No primeiro, o quadrado está no logaritmo inteiro. Só o segundo vira 2 log x.
• Trocar a ordem na mudança de base e escrever log da base dividido pelo log do logaritmando. O logaritmando fica em cima.
• Somar os logaritmos quando o enunciado pede o logaritmo de uma divisão. Divisão vira subtração, nunca soma.
• Aceitar base igual a 1 em questão com base literal. Se a base é 1, o logaritmo não existe, e esse detalhe já virou item de certo ou errado.

Resumo para a prova.

Situação na questão	Propriedade a usar	Transformação
Logaritmando é uma multiplicação	produto	vira soma de logaritmos
Logaritmando é uma divisão	quociente	vira subtração de logaritmos
Logaritmando tem expoente ou raiz	potência	o expoente sai multiplicando
As bases são diferentes	mudança de base	reescreve tudo em uma base só
Número fora da tabela dada	fatoração em primos	quebra em fatores que estão na tabela
Aparece log de soma	nenhuma	não existe propriedade, resolva por dentro
Equação com logaritmo	definição	volte para a forma de potência e teste a condição

Logaritmo não vive sozinho na prova. Ele aparece colado em juros compostos dentro de matemática financeira, e a fatoração que ele exige é a mesma dos critérios de divisibilidade e números primos. Quem já resolve equação do primeiro grau e MMC e MDC com segurança pega logaritmo em pouco tempo.

Para fechar o bloco de exatas, encaixe estatística descritiva, probabilidade e análise combinatória. Se a sua base ainda está fraca, comece pelo raciocínio lógico do zero e pelo roteiro de matemática para nível médio, nessa ordem.

Um último ajuste de rota: confira o estilo da sua banca antes de decidir quanto tempo dar a logaritmo, porque o peso do assunto muda bastante de edital para edital. O guia sobre estudar pelo estilo da banca resolve essa dúvida, e o cronograma de estudos ajuda a encaixar o tópico sem atropelar o resto da matéria.

Perguntas frequentes.

Quais são as propriedades dos logaritmos?

São cinco regras operatórias: produto, quociente, potência, mudança de base e as consequências diretas da definição. O produto vira soma, a divisão vira subtração e o expoente sai multiplicando na frente. A mudança de base reescreve tudo em uma base comum quando as bases do problema são diferentes.

Como calcular logaritmo sem calculadora?

Fatore o logaritmando em números primos e aplique as propriedades do produto e da potência. Em prova, a banca costuma fornecer log 2 e log 3, e a partir deles você monta qualquer número composto por esses fatores. Para log 5, use o atalho de 10 dividido por 2, que dá 1 menos log 2.

Qual a condição de existência de um logaritmo?

O logaritmando precisa ser maior que zero, a base precisa ser maior que zero e a base não pode valer 1. As três condições valem ao mesmo tempo. Em equação logarítmica, confira sempre a condição depois de achar a raiz, porque uma solução algebricamente correta pode não existir.

Para que serve a mudança de base?

Serve para comparar ou somar logaritmos escritos em bases diferentes, o que as propriedades normais não permitem. A fórmula coloca o logaritmando em cima e a base original embaixo, ambos na nova base escolhida. Na prática, quase sempre se escolhe a base 10 ou a base 2.

Logaritmo de soma pode ser separado?

Não. Não existe propriedade para log(x + y), e tentar separar é o erro mais comum da matéria. Quando o logaritmando é uma soma, resolva a soma por dentro primeiro e só depois calcule o logaritmo do resultado.

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