Matrizes e determinantes: regras e exercícios

Candidato perde ponto em matriz por um motivo bobo: calcula tudo certo e troca a ordem da multiplicação. Matriz A vezes B quase nunca dá o mesmo que B vezes A, e a banca cobra exatamente esse detalhe.

Matriz é uma tabela de números organizada em linhas e colunas. Determinante é um número único que se associa a uma matriz quadrada e resume informações sobre ela. Só matriz quadrada tem determinante, e o cálculo muda conforme a ordem: direto na ordem 1, cruzado na ordem 2 e pela regra de Sarrus na ordem 3.

Atualizado em 5 de outubro de 2026.

• O que é matriz?
• Tipos de matriz que caem em prova.
• Operações e determinante: as regras que resolvem a questão.
• Como as bancas cobram matrizes e determinantes?
• Exercício resolvido.
• Erros mais comuns.
• Resumo para a prova.
• Perguntas frequentes.

O que é matriz?

Matriz é um conjunto de números dispostos em linhas e colunas, dentro de colchetes. A ordem de uma matriz é dada por linhas vezes colunas: uma matriz 2x3 tem 2 linhas e 3 colunas, nessa ordem, sempre. Inverter a leitura da ordem já é meio caminho para errar a questão inteira.

Como se lê a posição de um elemento:

Cada número da matriz é chamado de elemento e recebe dois índices, escritos como aᵢⱼ. O primeiro índice é a linha, o segundo é a coluna. Então a₂₃ é o elemento que está na segunda linha e na terceira coluna. Decorar que linha vem primeiro resolve boa parte das questões de localização, que são as mais fáceis da matéria.

Lei de formação: o jeito preferido da banca:

Em vez de entregar a matriz pronta, o enunciado costuma dar uma regra e pedir que você a construa. Exemplo clássico: monte a matriz quadrada de ordem 2 em que aᵢⱼ = 2i + j. Você calcula elemento por elemento. Para a₁₁, i vale 1 e j vale 1, então 2 vezes 1 mais 1 dá 3. Para a₁₂, dá 2 vezes 1 mais 2, ou seja, 4. Para a₂₁, 2 vezes 2 mais 1 dá 5. E para a₂₂, 2 vezes 2 mais 2 dá 6. A matriz é [[3, 4], [5, 6]].

Tipos de matriz que caem em prova.

São poucos e todos aparecem como pegadinha de nomenclatura em item de certo ou errado.

Matriz quadrada:

É aquela que tem o mesmo número de linhas e de colunas. Uma matriz 3x3 é quadrada de ordem 3. Só a matriz quadrada tem determinante, e essa é a informação mais cobrada de toda a matéria. Se a questão pedir o determinante de uma matriz 2x3, a resposta correta é que ele não existe.

Matriz identidade:

É a matriz quadrada que tem 1 em toda a diagonal principal e 0 em todo o resto. A identidade de ordem 2 é [[1, 0], [0, 1]]. Ela funciona na multiplicação de matrizes como o número 1 funciona na multiplicação comum: qualquer matriz multiplicada pela identidade devolve ela mesma. O determinante da identidade vale 1.

Matriz transposta:

Você troca as linhas pelas colunas e obtém a transposta, indicada por Aᵗ. A transposta de [[1, 2], [3, 4]] é [[1, 3], [2, 4]]. Detalhe que vira questão: o determinante não muda quando você transpõe. Nos dois exemplos acima o determinante vale -2, e isso vale sempre, para qualquer matriz quadrada.

Matriz nula e matriz diagonal:

A matriz nula tem zero em todos os elementos, e o determinante dela é zero. A matriz diagonal tem números na diagonal principal e zero em todo o resto. O determinante da diagonal, e também o da triangular, é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal, o que economiza bastante conta na prova.

Operações e determinante: as regras que resolvem a questão.

Soma e subtração:

Só funcionam entre matrizes de mesma ordem, e você opera elemento com elemento na mesma posição. Somando [[1, 2], [3, 4]] com [[5, 6], [7, 8]], o resultado é [[6, 8], [10, 12]]. Se as ordens forem diferentes, a soma não existe, e a banca adora oferecer isso como alternativa.

Multiplicação de matrizes:

Aqui mora a dificuldade. O produto A vezes B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. Cada elemento do resultado sai da soma dos produtos de uma linha de A com uma coluna de B. Multiplicando [[1, 2], [3, 4]] por [[5, 6], [7, 8]]: a posição da primeira linha com a primeira coluna dá 1 vezes 5 mais 2 vezes 7, ou seja, 19. Seguindo o mesmo caminho nas outras posições, o produto é [[19, 22], [43, 50]].

Agora inverta a ordem. O produto de [[5, 6], [7, 8]] por [[1, 2], [3, 4]] dá [[23, 34], [31, 46]], que é um resultado completamente diferente. A multiplicação de matrizes não é comutativa, e esse é o ponto que mais rende questão.

Determinante de ordem 1 e de ordem 2:

Na ordem 1, o determinante é o próprio número. Na ordem 2, multiplique a diagonal principal e subtraia o produto da diagonal secundária. Em [[2, 3], [4, 5]], a conta é 2 vezes 5 menos 3 vezes 4, ou seja, 10 menos 12, que resulta em -2.

Determinante de ordem 3 pela regra de Sarrus:

Repita as duas primeiras colunas à direita da matriz, some os três produtos no sentido da diagonal principal e subtraia os três produtos no sentido da diagonal secundária. Na matriz [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 10]], os produtos positivos são 1 vezes 5 vezes 10, igual a 50, mais 2 vezes 6 vezes 7, igual a 84, mais 3 vezes 4 vezes 8, igual a 96, totalizando 230. Os negativos são 3 vezes 5 vezes 7, igual a 105, mais 1 vezes 6 vezes 8, igual a 48, mais 2 vezes 4 vezes 10, igual a 80, totalizando 233. O determinante é 230 menos 233, ou seja, -3.

Propriedades que economizam conta:

Três delas resolvem questão sem calcular nada. Se uma linha ou coluna for toda de zeros, o determinante é zero. Se duas linhas ou duas colunas forem iguais ou proporcionais, o determinante também é zero. E se você multiplicar a matriz inteira por um número k, o determinante fica multiplicado por k elevado à ordem da matriz: numa matriz 2x2 de determinante 7, multiplicar tudo por 3 leva o determinante a 9 vezes 7, igual a 63.

Operação	Quando existe	Como se faz	Exemplo
Soma	mesma ordem nas duas	elemento com elemento	[[1,2],[3,4]] + [[5,6],[7,8]] = [[6,8],[10,12]]
Produto A·B	colunas de A iguais às linhas de B	linha de A por coluna de B	[[1,2],[3,4]] · [[5,6],[7,8]] = [[19,22],[43,50]]
Transposta	sempre	troca linha por coluna	[[1,2],[3,4]] vira [[1,3],[2,4]]
Determinante ordem 2	só matriz quadrada	diagonal principal menos secundária	det[[2,3],[4,5]] = 10 - 12 = -2
Determinante ordem 3	só matriz quadrada	regra de Sarrus	det[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,10]] = 230 - 233 = -3
Determinante da triangular	só matriz quadrada	produto da diagonal principal	det[[2,9,4],[0,3,7],[0,0,5]] = 30

Como as bancas cobram matrizes e determinantes?

O desenho de questão mais comum é a matriz dada por lei de formação seguida do pedido do determinante. O enunciado define aᵢⱼ por uma expressão, você monta a matriz e calcula. Na matriz [[3, 4], [5, 6]] construída mais acima, o determinante é 3 vezes 6 menos 4 vezes 5, ou seja, 18 menos 20, que dá -2.

O segundo desenho mais frequente é a matriz com incógnita e uma condição sobre o determinante, que transforma a questão em uma equação. O terceiro é a pergunta direta de nomenclatura, geralmente sobre matriz identidade, transposta ou sobre a existência do determinante. Cebraspe tende a quebrar isso em itens de certo ou errado, enquanto FGV e FCC preferem múltipla escolha com valor numérico. Dá para conferir o padrão nas provas publicadas pela Cebraspe e pela FCC.

O macete honesto, e o que ele não faz:

Funciona de verdade: antes de calcular qualquer determinante, bater o olho procurando linha de zeros, linha repetida ou linha proporcional. Achou, a resposta é zero e você economiza a conta inteira. Funciona também conferir se a matriz é triangular, porque aí basta multiplicar a diagonal.

Não funciona: aplicar a regra de Sarrus em matriz de ordem 4. Sarrus serve apenas para ordem 3, e usar em outra ordem dá resultado errado com cara de certo. Também não funciona somar matrizes de ordens diferentes nem assumir que A vezes B é igual a B vezes A.

Exercício resolvido.

Exercício 1, nível de aquecimento:

Calcule o determinante da matriz [[3, -1], [2, 4]].

1. Confirme que a matriz é quadrada: ela tem 2 linhas e 2 colunas, então o determinante existe.
2. Multiplique a diagonal principal: 3 vezes 4 dá 12.
3. Multiplique a diagonal secundária: menos 1 vezes 2 dá menos 2.
4. Subtraia a segunda da primeira: 12 menos (menos 2).
5. Resolva o sinal duplo, que vira soma: 12 mais 2.
6. O determinante vale 14.

O passo 4 é onde quase todo erro acontece. Quando a diagonal secundária dá negativo, a subtração vira soma, e quem resolve no automático escreve 10 em vez de 14.

Exercício 2, no nível de prova de concurso:

Questão adaptada, escrita no estilo da FGV. Determine os valores reais de x para os quais o determinante da matriz [[x, 2], [3, x]] é igual a 10.

1. Monte a expressão do determinante pela regra da ordem 2: x vezes x menos 2 vezes 3.
2. Simplifique: o determinante é x ao quadrado menos 6.
3. Iguale à condição do enunciado: x ao quadrado menos 6 igual a 10.
4. Isole o termo com incógnita: x ao quadrado igual a 16.
5. Extraia a raiz lembrando dos dois sinais: x igual a 4 ou x igual a -4.
6. Teste x igual a 4 na matriz: o determinante de [[4, 2], [3, 4]] é 16 menos 6, igual a 10. Confere.
7. Teste x igual a -4: o determinante de [[-4, 2], [3, -4]] é 16 menos 6, igual a 10. Também confere.
8. Resposta: os dois valores servem, x igual a 4 e x igual a -4.

O passo 5 é a armadilha da questão. Candidato apressado escreve só x igual a 4 e marca a alternativa incompleta, que a banca sempre oferece. Raiz quadrada em equação sempre abre dois caminhos. Esse tipo de conferência é o que o treino em banco de questões transforma em hábito.

Erros mais comuns.

• Calcular determinante de matriz que não é quadrada. Matriz 2x3 não tem determinante, ponto.
• Ler a ordem ao contrário e tratar uma matriz 2x3 como se tivesse 3 linhas. Linhas sempre vêm primeiro.
• Errar o sinal na subtração da diagonal secundária quando o produto dela é negativo, como no exercício 1.
• Usar a regra de Sarrus em matriz de ordem diferente de 3. Para ordem 4 ou maior, o caminho é o teorema de Laplace.
• Assumir que o produto de matrizes é comutativo e trocar a ordem dos fatores no meio da conta.
• Esquecer a segunda raiz quando a equação do determinante cai em x ao quadrado, perdendo metade da resposta.

Resumo para a prova.

O que a questão pede	Primeira checagem	Caminho da resposta
Montar matriz por lei de formação	a ordem pedida	calcule elemento por elemento, linha primeiro
Determinante de ordem 2	a matriz é quadrada?	principal menos secundária
Determinante de ordem 3	a matriz é quadrada?	regra de Sarrus, soma positiva menos soma negativa
Determinante de ordem 4 ou maior	a matriz é quadrada?	teorema de Laplace, nunca Sarrus
Determinante com linha repetida ou de zeros	olhe antes de calcular	a resposta é zero
Produto de matrizes	colunas de A iguais às linhas de B?	linha de A por coluna de B, sem trocar a ordem
Matriz com incógnita e determinante dado	grau da equação que vai surgir	monte a equação e teste todas as raízes

Matriz conversa direto com outros assuntos do edital de exatas. A equação que aparece no segundo exercício é a mesma lógica da equação do primeiro grau, e a leitura de tabela que a matriz exige é parente da leitura cobrada em estatística descritiva. Quem precisa reforçar a base de operações pode passar antes por divisibilidade e números primos e por MMC e MDC.

No bloco de raciocínio lógico, o raciocínio de contagem aparece em análise combinatória e em probabilidade, enquanto a parte de lógica pura fica em tabela verdade e em diagramas lógicos. Para quem está começando, o guia de raciocínio lógico do zero é a porta de entrada.

Antes de decidir quanto tempo dar a matrizes, confira se o assunto realmente pesa no seu edital, porque em muitos certames ele vale uma questão só. O material sobre estudar pelo estilo da banca ajuda nessa leitura, e o simulado mostra se o tópico já está no automático ou ainda consome tempo demais.

Perguntas frequentes.

O que é uma matriz?

É uma tabela de números organizada em linhas e colunas, escrita entre colchetes. A ordem dela se lê como linhas vezes colunas, nessa sequência. Cada número é um elemento, identificado por dois índices em que o primeiro indica a linha e o segundo indica a coluna.

Como calcular o determinante de uma matriz 3x3?

Use a regra de Sarrus: repita as duas primeiras colunas à direita, some os três produtos na direção da diagonal principal e subtraia os três produtos na direção da diagonal secundária. O resultado da subtração é o determinante. Essa regra vale só para ordem 3.

Quando o determinante é zero?

Sempre que a matriz tiver uma linha ou uma coluna inteira de zeros, ou duas linhas ou colunas iguais ou proporcionais entre si. Verificar isso antes de calcular economiza a conta toda. Determinante zero também indica que a matriz não tem inversa.

Toda matriz tem determinante?

Não. Só a matriz quadrada, aquela com o mesmo número de linhas e colunas, tem determinante. Para uma matriz 2x3 ou 3x4, o determinante simplesmente não existe, e esse é um dos itens de certo ou errado mais repetidos da matéria.

A multiplicação de matrizes é comutativa?

Não. Na maioria dos casos, A vezes B dá um resultado diferente de B vezes A, e em alguns casos um dos produtos sequer existe. Por isso a ordem dos fatores precisa ser respeitada exatamente como o enunciado escreveu.

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