Inequação do Segundo Grau: Guia Completo para Concurso

Quem resolve a equação do segundo grau mas esquece de inverter o sinal da desigualdade perde a questão inteira, mesmo acertando as raízes.

Inequação do segundo grau é a expressão do tipo ax² + bx + c que aparece maior, menor, maior ou igual, ou menor ou igual a zero em vez de igual a zero; a solução nunca é um número isolado, é um intervalo de valores de x, encontrado ao estudar o sinal da parábola entre e fora das raízes.

Ilustração de uma parábola com destaque para o intervalo de solução de uma inequação do segundo grau.

Sumário da matéria:

• O que é inequação do segundo grau?
• Quais são os tipos de inequação do segundo grau?
• Como analisar o sinal da parábola?
• Qual é o passo a passo para resolver?
• Como as bancas cobram inequação do segundo grau?
• Exercício resolvido: inequação do segundo grau.
• Quais são os erros mais comuns?
• Resumo rápido da matéria.
• Perguntas frequentes.

O que é inequação do segundo grau?

A inequação do segundo grau é toda desigualdade que pode ser escrita na forma ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c < 0, ax² + bx + c ≥ 0 ou ax² + bx + c ≤ 0, com a diferente de zero. A diferença em relação à equação do segundo grau é só o sinal no meio: em vez de perguntar onde a expressão vale exatamente zero, a inequação pergunta em quais valores de x a expressão fica positiva, negativa ou igual a zero.

Esse tipo de questão aparece sozinho e também dentro de outros assuntos, como domínio de função, estudo de sinal e problemas de raciocínio lógico que escondem uma parábola atrás de um enunciado de contexto, como lucro, área ou distância.

Quais são os tipos de inequação do segundo grau?

Inequação estrita: maior que zero ou menor que zero.

Usa os sinais > ou < e exclui as próprias raízes da resposta. Exemplo: a solução de x² − 5x + 6 < 0 é o intervalo aberto entre 2 e 3, sem incluir nem o 2 nem o 3.

Inequação não estrita: maior ou igual, ou menor ou igual a zero.

Usa os sinais ≥ ou ≤ e inclui as raízes na resposta, porque nesses pontos a expressão vale exatamente zero, o que já satisfaz a condição de "maior ou igual" ou "menor ou igual". Exemplo: a solução de x² − x − 6 ≥ 0 inclui os pontos x = −2 e x = 3.

Inequação-produto ou inequação-quociente.

Quando o enunciado já vem fatorado, como (x − 2)(x + 3) > 0, ou como uma fração com x no denominador. A lógica de sinal é a mesma da parábola, mas analisada fator por fator, e no quociente o denominador nunca pode valer zero.

Como analisar o sinal da parábola?

O sinal de ax² + bx + c para cada valor de x depende de duas coisas: se a parábola abre para cima ou para baixo, e onde ela cruza o eixo x. Resolver a inequação é, na prática, encontrar as raízes e depois decidir se a resposta fica entre elas ou fora delas.

Situação	Sinal de a	Fora das raízes	Entre as raízes
Parábola com concavidade para cima	a > 0	Positivo	Negativo
Parábola com concavidade para baixo	a < 0	Negativo	Positivo
Delta igual a zero	qualquer	Mesmo sinal de a em toda a reta, exceto na raiz dupla	Não existe intervalo entre raízes
Delta negativo	a > 0	Positivo em toda a reta	Não existe raiz real
Delta negativo	a < 0	Negativo em toda a reta	Não existe raiz real

A regra prática mais usada em prova é: "entre as raízes, o sinal é contrário ao de a; fora das raízes, o sinal é igual ao de a." Memorizar essa frase resolve a maioria das questões objetivas sem precisar desenhar o gráfico completo.

Qual é o passo a passo para resolver?

1. Deixe a inequação com zero de um lado só: ax² + bx + c, seguido do sinal de desigualdade.
2. Calcule o delta (b² − 4ac) e, com ele, as raízes pela fórmula de Bhaskara, quando elas existirem.
3. Marque as raízes numa reta numérica, da menor para a maior.
4. Identifique o sinal de a para saber se a parábola abre para cima ou para baixo.
5. Aplique a regra de sinal da tabela acima em cada intervalo da reta.
6. Escreva a resposta como um intervalo de x, incluindo as raízes quando o sinal da inequação for ≥ ou ≤.

Como as bancas cobram inequação do segundo grau?

Em concurso, a inequação do segundo grau raramente aparece pura como "resolva x² − 4 > 0". A banca costuma embrulhar a mesma conta dentro de um problema de domínio de função, de inequação-produto com dois fatores do primeiro grau, ou de um sistema com duas inequações que precisa da interseção das duas respostas. Em qualquer um desses formatos, quem domina a tabela de sinal resolve a questão com o mesmo raciocínio.

Um exemplo comum é a pergunta sobre o domínio de uma função com raiz quadrada, como f(x) igual à raiz de x² − 4. Toda raiz quadrada exige que o número de dentro, chamado radicando, seja maior ou igual a zero, então a questão se transforma direto numa inequação do segundo grau: x² − 4 ≥ 0. As raízes dessa expressão são x = −2 e x = 2, e com a = 1 positivo, fora das raízes o sinal é positivo, exatamente o que a condição de domínio exige. A resposta final é x ≤ −2 ou x ≥ 2, o domínio real da função.

Exercício resolvido: inequação do segundo grau.

Exercício 1: resolva x² − 5x + 6 < 0.

Primeiro, calcule o delta: b² − 4ac = (−5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1. Como o delta é positivo, existem duas raízes reais, dadas por x = (5 ± 1) / 2, ou seja, x = 2 e x = 3. Como a = 1 é positivo, a parábola abre para cima, e pela regra de sinal, entre as raízes o sinal é contrário ao de a, portanto negativo. A inequação pede exatamente onde a expressão é menor que zero, que é entre as raízes. A solução é 2 < x < 3, sem incluir os extremos, porque o sinal é estrito.

Exercício 2, nível de prova (questão adaptada ao estilo das bancas de concurso): resolva x² − x − 6 ≥ 0.

O delta é (−1)² − 4(1)(−6) = 1 + 24 = 25, e a raiz quadrada de 25 é 5. As raízes ficam em x = (1 ± 5) / 2, o que dá x = −2 e x = 3. Com a = 1 positivo, fora das raízes o sinal é igual ao de a, portanto positivo, que é exatamente o que a inequação pede, "maior ou igual a zero". Como o sinal não é estrito, as próprias raízes entram na resposta. A solução final é x ≤ −2 ou x ≥ 3.

Quais são os erros mais comuns?

• Trocar a regra de sinal, respondendo "fora das raízes" quando a pergunta era sobre o intervalo "entre as raízes", ou o contrário.
• Esquecer de incluir as raízes na resposta quando o sinal da inequação é ≥ ou ≤.
• Dividir ou multiplicar a inequação por um número negativo sem inverter o sinal da desigualdade.
• Ignorar o sinal de a quando ele é negativo, aplicando a regra de sinal como se a parábola abrisse sempre para cima.
• Em inequação-quociente, esquecer que o denominador nunca pode valer zero e incluir esse ponto por engano na resposta.
• Calcular o delta errado por trocar o sinal de b ou de c ao copiar os coeficientes do enunciado.
• Confundir a condição de domínio de uma raiz quadrada, que exige radicando maior ou igual a zero, com a condição de um denominador, que exige apenas diferente de zero.

Resumo rápido da matéria.

Passo	O que fazer
1	Deixar a inequação igualada a zero de um lado.
2	Calcular delta e as raízes com Bhaskara.
3	Marcar as raízes na reta numérica.
4	Ver o sinal de a: positivo abre para cima, negativo abre para baixo.
5	Entre as raízes, sinal contrário ao de a; fora, sinal igual ao de a.
6	Incluir as raízes na resposta só quando o sinal da inequação for ≥ ou ≤.

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Perguntas frequentes.

O que fazer quando o delta é negativo?

Quando o delta é negativo, a parábola não cruza o eixo x e não existem raízes reais. Nesse caso, a expressão tem o mesmo sinal de a em toda a reta, então a inequação ou não tem solução, ou a solução é todo o conjunto dos números reais, dependendo do sinal pedido.

É preciso sempre calcular o delta para resolver uma inequação do segundo grau?

Não. Quando a expressão já aparece fatorada, como (x − 2)(x + 3) ≥ 0, basta identificar as raízes direto dos fatores, sem calcular delta nem usar a fórmula de Bhaskara.

Como resolver uma inequação-quociente com x no denominador?

A regra de sinal é aplicada do mesmo jeito, analisando o sinal do numerador e do denominador separadamente e depois combinando os dois, mas o valor de x que anula o denominador nunca entra na resposta, mesmo quando o sinal da inequação é ≥ ou ≤.

Inequação do segundo grau cai em qual etapa do concurso?

Costuma aparecer na prova objetiva de matemática e raciocínio lógico-matemático, tanto em cargos de nível médio quanto de nível superior, e também dentro de questões de outras disciplinas que dependem de domínio de função.

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