Resto da divisão: o ciclo que resolve a questão

Atualizado em 06/10 às 01h

Perguntar o último algarismo de 7 elevado a 2026 parece exigir uma conta impossível. Com resto de divisão, a resposta sai em quinze segundos: é 9.

O resto da divisão é o que sobra quando um número não cabe um número inteiro de vezes em outro. Ele obedece ao algoritmo da divisão, em que dividendo é igual a divisor vezes quociente mais resto, com o resto sempre menor que o divisor. Em concurso, o resto é usado para descobrir padrões que se repetem em ciclo, como dias da semana e últimos algarismos de potências.

Atualizado em 6 de outubro de 2026.

O que é o resto da divisão?

Resto é a parte do dividendo que não foi distribuída pelo divisor. Dividindo 47 por 5, cabem 9 grupos completos de 5, que somam 45, e sobram 2. Escrito no formato do algoritmo da divisão: 47 = 5 × 9 + 2, com quociente 9 e resto 2.

Duas regras governam tudo o que vem depois. A primeira é que o resto nunca pode ser igual ou maior que o divisor, porque se fosse daria para formar outro grupo completo. A segunda é consequência da primeira: na divisão por 5, os únicos restos possíveis são 0, 1, 2, 3 e 4. Na divisão por 9, vão de 0 a 8.

Essa limitação é exatamente o que torna o resto útil. Como os restos se esgotam e voltam ao início, eles produzem ciclos, e ciclo é algo que a prova adora cobrar. É o mesmo tipo de estrutura repetitiva que aparece em progressão aritmética e geométrica.

A prova real, que ainda vale:

Para conferir qualquer divisão, multiplique o divisor pelo quociente e some o resto. Se o resultado reproduz o dividendo, a conta está certa. Em 1.000 dividido por 7, o quociente é 142 e o resto é 6, porque 7 × 142 = 994 e 994 mais 6 devolve 1.000. Vale fazer essa checagem sempre, pelo mesmo motivo que se confere operações com frações antes de marcar a alternativa.

Resto e divisibilidade são o mesmo assunto:

Dizer que um número é divisível por outro é dizer que o resto é zero. Por isso os critérios de divisibilidade são atalhos de resto: a soma dos algarismos de 1.234 é 10, cujo resto na divisão por 9 é 1, e o resto de 1.234 por 9 também é 1. O critério funciona porque existe um teorema por trás dele.

Os três tipos de questão com resto:

Praticamente toda questão de concurso sobre resto cabe em um destes três moldes. Identificar o molde define o caminho antes de qualquer cálculo.

Tipo 1, divisão com sobra concreta:

O enunciado distribui objetos ou pessoas em grupos e pergunta quantos sobram. Exemplo: 250 candidatos divididos em salas de 8 lugares ocupam 31 salas cheias e deixam 2 candidatos para a sala seguinte, porque 250 = 8 × 31 + 2.

Tipo 2, padrão que se repete em ciclo:

O enunciado pergunta o que acontece depois de muitos passos iguais. Dias da semana, meses, cores em sequência e posições em uma fila circular entram aqui. Se hoje é terça e a pergunta é sobre 100 dias à frente, divida 100 por 7 e use só o resto: 100 ÷ 7 deixa resto 2, então o dia será uma quinta.

Tipo 3, condições simultâneas de resto:

O enunciado dá dois ou mais restos e pede o número. Exemplo: um número que deixa resto 3 na divisão por 5 e resto 2 na divisão por 4. Listando os candidatos de cada condição e cruzando, o menor valor positivo é 18, e os seguintes aparecem de 20 em 20: 38, 58, 78.

Como achar o ciclo sem decorar nada:

O ciclo da última casa decimal de uma potência se descobre em três multiplicações. Calcule as primeiras potências da base, olhe apenas o algarismo final e pare quando um algarismo se repetir. O tamanho do ciclo é o número de algarismos distintos antes da repetição.

Com a base 7, por exemplo: 7 termina em 7, 49 termina em 9, 343 termina em 3, 2.401 termina em 1 e a quinta potência volta a terminar em 7. O ciclo tem quatro posições, na ordem 7, 9, 3, 1. A partir daí, basta dividir o expoente por 4 e usar o resto para localizar a posição.

Base	Ciclo do último algarismo	Tamanho do ciclo	Exemplo de uso
2	2, 4, 8, 6	4	2 elevado a 50 termina em 4
3	3, 9, 7, 1	4	3 elevado a 100 termina em 1
4	4, 6	2	Expoente par termina em 6
7	7, 9, 3, 1	4	7 elevado a 2026 termina em 9
8	8, 4, 2, 6	4	8 elevado a 11 termina em 2
9	9, 1	2	Expoente par termina em 1

A regra do resto zero, que confunde:

Quando o resto da divisão do expoente pelo tamanho do ciclo é zero, a posição procurada é a última do ciclo, não a primeira. Em 3 elevado a 100, o resto de 100 por 4 é zero, então o algarismo é o quarto do ciclo 3, 9, 7, 1, isto é, 1. Confundir resto zero com primeira posição é o erro mais frequente desse tema.

Por que o calendário anda um dia por ano:

Um ano comum tem 365 dias, e 365 dividido por 7 deixa resto 1. É por isso que uma data cai na segunda em um ano e na terça no ano seguinte. O mesmo raciocínio resolve qualquer pergunta de calendário em prova, e conversa direto com o conteúdo de raciocínio lógico para concurso.

Como as bancas cobram o resto da divisão:

O tema quase nunca aparece com o nome próprio no edital. Ele vem escondido dentro de aritmética, sequências ou raciocínio lógico matemático, e se revela no enunciado por palavras como sobram, restam, qual o último algarismo e que dia da semana será.

Em prova de certo ou errado, como a do Cebraspe, costuma vir uma afirmação de calendário ou de sobra para julgar. Bancas de múltipla escolha como a FGV preferem a potência de expoente alto, e a Vunesp gosta de condições simultâneas de resto. A FCC tende a misturar resto com MMC e MDC na mesma questão.

As palavras que entregam a questão:

Sobram, restam, ficam de fora. Divisão direta com resto, tipo 1.
Daqui a N dias, na posição N da sequência. Ciclo, tipo 2.
Último algarismo, algarismo das unidades. Ciclo de potência.
Deixa resto X e resto Y. Condições simultâneas, tipo 3.
Maior resto possível. É sempre o divisor menos 1.

Reconhecer essas marcas é mais útil que memorizar fórmula, e o jeito de automatizar isso é volume de questão comentada, como explica como estudar por questões. O Portal da OBMEP disponibiliza material gratuito de aritmética com problemas no mesmo desenho.

Exercício resolvido:

Os dois exercícios abaixo foram escritos no estilo das bancas e são adaptados, não transcrições de provas aplicadas. O primeiro trabalha o algoritmo da divisão. O segundo cobra ciclo e condições simultâneas, no nível que cai na prova.

Exercício 1, aplicação direta:

Uma secretaria precisa acomodar 250 candidatos em salas com 8 lugares cada. Quantas salas ficam completas, quantos candidatos sobram e qual o maior resto que uma divisão por 8 poderia produzir?

Divida 250 por 8 e separe parte inteira e sobra: 8 × 30 = 240, e ainda cabe mais um grupo, porque 250 menos 240 é 10, que é maior que 8.
Ajuste para o quociente correto: 8 × 31 = 248.
Calcule o resto: 250 menos 248 = 2.
Escreva no algoritmo da divisão: 250 = 8 × 31 + 2, logo são 31 salas completas e 2 candidatos na sala seguinte.
Para o maior resto possível na divisão por 8, use a regra do divisor menos 1: o maior resto é 7.
Confira pela prova real: 8 × 31 mais 2 devolve 250. Fecha.

O item do maior resto parece decorativo e é ponto fácil. Resto igual a 8 seria impossível, porque formaria uma sala completa a mais.

Exercício 2, nível de prova:

Responda aos dois itens. Primeiro: qual é o algarismo das unidades de 7 elevado a 2026? Segundo: qual é o menor número natural positivo que deixa resto 3 na divisão por 5 e resto 2 na divisão por 4?

Para o primeiro item, levante o ciclo da base 7 olhando só o algarismo final: 7, 49, 343, 2.401 terminam em 7, 9, 3 e 1.
Confirme que o ciclo fecha: a quinta potência volta a terminar em 7, então o ciclo tem tamanho 4.
Divida o expoente pelo tamanho do ciclo: 2.026 ÷ 4 dá quociente 506 e resto 2, porque 4 × 506 = 2.024.
Use o resto como posição no ciclo: resto 2 aponta o segundo algarismo da sequência 7, 9, 3, 1, ou seja, o algarismo das unidades é 9.
Para o segundo item, liste os números que deixam resto 3 na divisão por 5: 3, 8, 13, 18, 23, 28.
Liste os que deixam resto 2 na divisão por 4: 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26.
Cruze as duas listas e pegue o primeiro valor comum: o menor número é 18.
Confira: 18 = 5 × 3 + 3 e 18 = 4 × 4 + 2. As duas condições batem.
Para achar os próximos, some o mínimo comum múltiplo de 5 e 4, que é 20: a família de soluções é 18, 38, 58, 78.

O último passo é o que transforma a questão em ponto rápido nas próximas provas. Quando o enunciado pede o segundo ou o terceiro número da família, não é preciso listar de novo, basta somar 20.

Os erros mais comuns:

Tratar resto zero como primeira posição do ciclo. Resto zero aponta a última posição, não a primeira.
Dividir o expoente pelo número errado. O expoente se divide pelo tamanho do ciclo, nunca pela base.
Aceitar resto igual ou maior que o divisor. Se isso aparecer, o quociente foi calculado pequeno demais.
Arredondar a divisão em vez de separar o resto. Resto e decimal são coisas diferentes, e a questão pede o resto.
Esquecer de verificar as duas condições no tipo 3. O número precisa satisfazer todas as exigências, não apenas a primeira.
Somar o divisor errado para gerar a família de soluções. O passo é o mínimo comum múltiplo dos divisores.

Reservar um canto do rascunho para o formato dividendo igual à divisor vezes quociente mais resto elimina quase todos esses erros, porque obriga a conferir a condição do resto antes de seguir. É a mesma lógica de organização que ajuda em equação do primeiro grau.

Resumo de véspera:

Pergunta do enunciado	O que fazer	Exemplo conferido
Quantos sobram na divisão?	Aplique o algoritmo da divisão	250 = 8 × 31 + 2
Qual o maior resto possível?	Divisor menos 1	Divisão por 9, maior resto 8
Que dia da semana será daqui a N dias?	Divida N por 7 e use o resto	100 ÷ 7 deixa resto 2
Qual o último algarismo da potência?	Divida o expoente pelo tamanho do ciclo	7 elevado a 2026 termina em 9
E se o resto do expoente der zero?	Use a última posição do ciclo	3 elevado a 100 termina em 1
Número com dois restos dados	Cruze as listas e some o mínimo comum múltiplo	18, depois 38, 58, 78
O número é divisível?	Verifique se o resto é zero	1.234 por 9 deixa resto 1

Três números compensam guardar de cabeça: 365 dividido por 7 deixa resto 1, a maioria dos ciclos de último algarismo tem tamanho 4 e o maior resto é sempre o divisor menos 1. Para ver o tema aplicado em contagem de casos, a leitura seguinte é análise combinatória.

Cada base tem um ciclo próprio, e o resto do expoente aponta a posição dentro dele.

Perguntas frequentes:

O que é o resto da divisão?

É o que sobra do dividendo depois de formar todos os grupos completos possíveis com o divisor. Ele aparece no algoritmo da divisão, em que o dividendo é igual ao divisor multiplicado pelo quociente mais o resto. Em 47 dividido por 5, o quociente é 9 e o resto é 2, porque 5 × 9 = 45 e sobram 2.

Qual é o maior resto possível em uma divisão?

É sempre o divisor menos 1. Na divisão por 9, o maior resto é 8, e na divisão por 8 é 7. Um resto igual ao divisor significaria que ainda cabe um grupo completo, o que contraria a definição e indica erro no quociente.

Como descobrir o último algarismo de uma potência grande?

Levante o ciclo dos algarismos finais das primeiras potências da base, divida o expoente pelo tamanho do ciclo e use o resto como posição. Para 7 elevado a 2026, o ciclo é 7, 9, 3, 1, o resto de 2.026 por 4 é 2 e a resposta é 9. Quando esse resto é zero, a posição é a última do ciclo.

Como usar o resto para achar o dia da semana?

Divida a quantidade de dias por 7 e avance apenas o resto a partir do dia atual. Começando em uma terça, 100 dias à frente dão resto 2 na divisão por 7, o que leva a uma quinta. O mesmo cálculo explica por que uma data anda um dia na semana a cada ano comum, já que 365 deixa resto 1.

Resto da divisão cai em prova de concurso?

Cai com frequência, embora raramente com esse nome no edital. O tema aparece dentro de aritmética, sequências e raciocínio lógico matemático, em questões de calendário, sobras e último algarismo. Treinar em simulados com tempo marcado ajuda a reconhecer o molde do enunciado de imediato.

Pegue o atalho certo nas questões de aritmética:

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