Permutação com repetição: fórmula e anagramas na prova

A palavra BANANA tem seis letras, mas gera apenas 60 anagramas, e não 720. As letras repetidas derrubam o total para um doze avos do que o fatorial sugere.

Permutação com repetição é a contagem de todas as ordens possíveis de um conjunto em que alguns elementos são idênticos. A fórmula divide o fatorial do total de elementos pelo produto dos fatoriais de cada repetição. Em BANANA, com três letras A e duas letras N, o cálculo é 6! dividido por 3! vezes 2!, que resulta em 720 ÷ 12 = 60.

Atualizado em 6 de outubro de 2026.

Neste guia você vai ver:

• O que é permutação com repetição
• Os quatro tipos de contagem e quando usar cada um
• A fórmula e de onde ela vem
• Como as bancas cobram anagramas
• Exercício resolvido, passo a passo
• Os erros mais comuns
• Resumo de véspera
• Perguntas frequentes

O que é permutação com repetição?

Permutação com repetição conta de quantas maneiras distintas é possível reordenar todos os elementos de um grupo quando pelo menos um deles aparece mais de uma vez. O nome é técnico, a ideia é simples: trocar um A de lugar com outro A não cria uma sequência nova, então esse rearranjo não pode ser contado.

Pense em ARARA. Se as três letras A fossem diferentes entre si, haveria 5! = 120 ordenações. Como elas são iguais, cada sequência visível aparece repetida 3! × 2! = 12 vezes na lista de 120. Dividindo, restam 10 anagramas de verdade. A divisão corrige essa contagem dupla.

Esse raciocínio é um dos pilares da análise combinatória com arranjo, permutação e combinação e reaparece em qualquer questão de probabilidade que exija contar o espaço amostral.

A diferença entre elemento repetido e repetição permitida:

São duas coisas que o nome confunde e a banca aproveita. Permutação com repetição trata de elementos que já vêm repetidos no conjunto, como as letras de BANANA. Senha de quatro dígitos em que o mesmo número pode ser reutilizado é outro problema, chamado arranjo com repetição, e resolve por potência: 10 × 10 × 10 × 10 = 10.000.

Se o enunciado entrega um conjunto fechado com elementos iguais e pede todas as ordens, é permutação com repetição. Se o enunciado permite escolher livremente e repetir à vontade, é potência.

Os quatro tipos de contagem e quando usar cada um:

Antes da fórmula vem a classificação, e é nela que a maioria dos pontos se ganha ou se perde. Duas perguntas resolvem a dúvida: a ordem importa? todos os elementos entram?

Permutação simples:

Todos os elementos entram, a ordem importa e nenhum se repete. A conta é o fatorial puro. Com as 6 letras distintas de LOGICA, o total é 6! = 720 anagramas.

Permutação com repetição:

Todos os elementos entram, a ordem importa e há elementos idênticos. A conta é o fatorial do total dividido pelos fatoriais das repetições. Em CONCURSO, com dois C e dois O, são 8! ÷ (2! × 2!) = 40.320 ÷ 4 = 10.080 anagramas.

Arranjo:

Só parte dos elementos entra e a ordem importa. Escolher 2 pessoas entre 5 para presidente e vice dá A(5,2) = 20 possibilidades, porque trocar os cargos muda o resultado.

Combinação:

Só parte dos elementos entra e a ordem não importa. Escolher 2 pessoas entre 5 para uma comissão sem hierarquia dá C(5,2) = 10 possibilidades, metade do arranjo, porque cada dupla foi contada duas vezes.

Tipo	A ordem importa?	Usa todos os elementos?	Fórmula	Exemplo com resultado
Permutação simples	Sim	Sim	n!	LOGICA, 6! = 720
Permutação com repetição	Sim	Sim	n! ÷ (a! × b!)	BANANA, 6! ÷ (3!2!) = 60
Arranjo	Sim	Não	n! ÷ (n menos p)!	A(5,2) = 20
Combinação	Não	Não	n! ÷ (p! × (n menos p)!)	C(5,2) = 10
Arranjo com repetição	Sim	Não, e repete	n elevado a p	Senha de 4 dígitos, 10.000

A fórmula e de onde ela vem:

A fórmula da permutação com repetição é n! dividido pelo produto dos fatoriais das quantidades repetidas. Se um conjunto tem n elementos, dos quais um aparece a vezes, outro b vezes e outro c vezes, o total de ordens distintas é n! ÷ (a! × b! × c!). Elementos que aparecem uma única vez contribuem com 1! = 1 e podem ser ignorados no denominador.

A origem é direta. Comece fingindo que todos os elementos são diferentes e conte n!. Nessa contagem, cada sequência real foi registrada tantas vezes quantas são as formas de embaralhar os elementos idênticos entre si, isto é, a! × b! × c! vezes. Dividir devolve a contagem honesta.

Montando o denominador sem esquecer nada:

1. Escreva o total de elementos e calcule o fatorial dele.
2. Liste cada elemento com a quantidade de vezes que aparece.
3. Descarte os que aparecem uma só vez.
4. Multiplique os fatoriais das quantidades que sobraram.
5. Divida o primeiro resultado pelo segundo.

Em ESTATÍSTICA, por exemplo, são 11 letras, com três T, duas S, duas A e duas I. O denominador é 3! × 2! × 2! × 2! = 6 × 2 × 2 × 2 = 48, e o total fica 39.916.800 ÷ 48 = 831.600 anagramas. Dominar fatorial ajuda aqui tanto quanto dominar potenciação e radiciação.

O macete honesto do cancelamento:

Fatorial grande não precisa ser calculado inteiro. Para 8! ÷ (2! × 2!), escreva 8! como 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 e cancele antes de multiplicar. Na prática, divida 40.320 por 4 e pronto. O macete que não funciona é tentar simplificar fatoriais somados: 5! mais 3! não é 8!, e essa confusão derruba questão inteira.

Como as bancas cobram anagramas:

O enunciado clássico pede o número de anagramas de uma palavra com letras repetidas. A partir daí as bancas acrescentam uma restrição, e é a restrição que separa o candidato treinado do que decorou a fórmula. As restrições mais frequentes são começar por determinada letra, manter letras iguais juntas e alternar vogais e consoantes.

Em prova de certo ou errado, como a do Cebraspe, o número já vem afirmado e cabe a você conferir. Bancas de múltipla escolha como a Cesgranrio e a Quadrix costumam oferecer o fatorial puro como alternativa, exatamente o valor de quem esqueceu de dividir pelas repetições.

As três restrições que mais aparecem:

• Começar por uma letra fixa. Fixe a letra, retire do conjunto e permute o que sobrou.
• Letras iguais sempre juntas. Trate o bloco como um único elemento e permute o conjunto reduzido.
• Posições específicas reservadas. Preencha primeiro as posições exigidas, depois permute o restante.

Treinar essas variações no banco de questões vale mais que reler a teoria, e a razão disso está explicada em como estudar por questões. As provas anteriores da OBMEP também trazem problemas de contagem com o mesmo desenho lógico das questões de concurso.

Exercício resolvido:

Os dois exercícios a seguir foram escritos no estilo das bancas e são adaptados, não transcrições de provas aplicadas. O primeiro cobra a fórmula direta. O segundo acrescenta restrição, no nível que você encontra na prova.

Exercício 1, aplicação direta:

Quantos anagramas distintos podem ser formados com as letras da palavra BANANA?

1. Conte o total de letras: B, A, N, A, N, A somam 6 elementos.
2. Identifique as repetições: a letra A aparece 3 vezes, a letra N aparece 2 vezes e a letra B aparece 1 vez.
3. Calcule o fatorial do total: 6! = 720.
4. Monte o denominador com as repetições: 3! × 2! = 6 × 2 = 12. O 1! da letra B é igual a 1 e não altera nada.
5. Divida: 720 ÷ 12 = 60 anagramas distintos.

Se a resposta marcada fosse 720, o erro teria sido ignorar as repetições. Essa alternativa está sempre na prova, e ela parece certa para quem só lembra do fatorial.

Exercício 2, nível de prova:

Considere a palavra CONCURSO. Determine, nesta ordem: o total de anagramas distintos, quantos deles começam com a letra C e quantos têm as duas letras C em posições vizinhas.

1. Conte os elementos: C, O, N, C, U, R, S, O somam 8 letras.
2. Liste as repetições: dois C e dois O. As letras N, U, R e S aparecem uma vez cada.
3. Calcule o total: 8! = 40.320, e o denominador é 2! × 2! = 4, logo 10.080 anagramas distintos.
4. Para os que começam com C, fixe um C na primeira posição. Sobram 7 letras: O, N, C, U, R, S, O.
5. Nessas 7 letras há dois O e um único C, então o denominador é apenas 2!, e o resultado é 7! ÷ 2! = 5.040 ÷ 2 = 2.520 anagramas.
6. Para os que têm os dois C vizinhos, cole as duas letras em um bloco único. O conjunto passa a ter 7 elementos: o bloco CC mais O, N, U, R, S, O.
7. Entre esses 7 elementos as repetições são apenas os dois O, então o total é 7! ÷ 2! = 2.520 anagramas.

Os dois últimos itens dão o mesmo número por coincidência aritmética, não por regra. Vale conferir cada um separadamente, porque mudar a palavra desfaz a coincidência na hora.

Os erros mais comuns:

• Usar fatorial puro e esquecer o denominador. É o erro campeão, e a banca oferece justamente esse valor como alternativa.
• Somar os fatoriais das repetições em vez de multiplicar. Em BANANA o denominador é 3! × 2! = 12, nunca 3! mais 2! = 8.
• Confundir elemento repetido com repetição permitida. Letras iguais pedem divisão por fatorial, senha com dígito reutilizável pede potência.
• Esquecer que fixar uma letra muda o denominador. Ao retirar um C de CONCURSO, aquele C deixa de ser repetido e sai da divisão.
• Tratar o bloco colado como duas posições. Letras juntas viram um elemento só na contagem do conjunto reduzido.
• Calcular fatorial grande por extenso. Cancelar antes economiza minutos e evita erro de aritmética.

Vale notar que esses erros aparecem na execução, com o conceito já entendido. A mesma disciplina de rascunho organizado que resolve teoria dos conjuntos e diagrama de Venn resolve contagem.

Resumo de véspera:

Palavra ou situação	Elementos	Repetições	Conta	Total
LOGICA	6	Nenhuma	6!	720
BANANA	6	3 letras A e 2 letras N	6! ÷ (3!2!)	60
ARARA	5	3 letras A e 2 letras R	5! ÷ (3!2!)	10
CONCURSO	8	2 letras C e 2 letras O	8! ÷ (2!2!)	10.080
APROVADO	8	2 letras A e 2 letras O	8! ÷ (2!2!)	10.080
ESTATÍSTICA	11	3 letras T, 2 S, 2 A e 2 I	11! ÷ (3!2!2!2!)	831.600
Bandeira com 3 faixas verdes, 2 azuis e 3 vermelhas	8	3, 2 e 3	8! ÷ (3!2!3!)	560
Caminho em malha com 3 passos à direita e 2 para cima	5	3 e 2	5! ÷ (3!2!)	10

A última linha da tabela é a aplicação que mais surpreende candidato. Contar caminhos em um quadriculado é permutação com repetição disfarçada, porque a rota é só uma sequência de passos iguais. Quem percebe isso ganha uma questão inteira sem fórmula nova, raciocínio que também aparece em progressão aritmética e geométrica.

Perguntas frequentes:

Qual é a fórmula da permutação com repetição?

É n! dividido pelo produto dos fatoriais das quantidades repetidas. Para um conjunto de n elementos em que um aparece a vezes e outro b vezes, o total de ordens distintas é n! ÷ (a! × b!). Elementos que aparecem uma única vez não alteram o denominador, porque 1! é igual a 1.

Quando usar permutação com repetição e quando usar arranjo?

Use permutação com repetição quando todos os elementos do conjunto entram na sequência e alguns são idênticos. Use arranjo quando apenas parte dos elementos é escolhida e a ordem dessa escolha importa. A pergunta que separa os dois é simples: sobra alguém de fora?

Por que é preciso dividir pelo fatorial das letras repetidas?

Porque o fatorial do total conta como diferentes sequências que, na prática, são a mesma. Trocar duas letras A de posição não produz uma palavra nova, mas o fatorial registra essa troca como um caso novo. A divisão elimina exatamente essa contagem duplicada.

Quantos anagramas tem a palavra BANANA?

São 60 anagramas distintos. O cálculo é 6! ÷ (3! × 2!), ou seja, 720 ÷ 12, porque a palavra tem seis letras com três A e dois N. Sem a divisão pelas repetições o total seria 720, que é a alternativa errada mais marcada nesse tipo de questão.

Permutação com repetição cai em prova de nível médio?

Cai, principalmente em editais que listam análise combinatória dentro de raciocínio lógico matemático. O formato mais comum é o anagrama de uma palavra curta com letras repetidas, às vezes com uma restrição simples. Resolver simulados cronometrados é o jeito mais rápido de ganhar velocidade nesse tema.

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