Lei dos Senos e dos Cossenos para Concurso: Fórmulas e Exercícios.

Atualizado em 9 de novembro de 2026.

Ficha rápida
Disciplina	Matemática e Raciocínio Lógico
Tema	Lei dos senos, lei dos cossenos e resolução de triângulos quaisquer
Nível de dificuldade	Intermediário
Tempo de leitura	Cerca de 8 minutos

Quando o triângulo da questão não tem ângulo de 90 graus, Pitágoras não serve, e é aí que a lei dos senos e a lei dos cossenos resolvem o que a trigonometria básica não alcança.

A lei dos senos e a lei dos cossenos são as duas fórmulas que resolvem qualquer triângulo, mesmo sem ângulo reto: a lei dos senos relaciona lado e seno do ângulo oposto, enquanto a lei dos cossenos generaliza o Teorema de Pitágoras para qualquer ângulo. Saber escolher qual das duas usar, a partir dos dados que a questão fornece, é o que decide se a conta sai em dois passos ou em dez.

O que são a lei dos senos e a lei dos cossenos?

A lei dos senos e a lei dos cossenos são duas relações trigonométricas que funcionam em qualquer triângulo, seja ele acutângulo, obtusângulo ou retângulo, diferente das razões seno, cosseno e tangente básicas, que só valem dentro de um triângulo retângulo, como mostra o material de referência da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas sobre o tema. Elas aparecem sempre que a questão dá um triângulo qualquer e pede para encontrar um lado ou um ângulo que falta.

Em concurso, o tema costuma vir dentro de trigonometria, logo depois de seno, cosseno e tangente, e exige que o candidato já domine Teorema de Pitágoras, porque a lei dos cossenos é, na prática, uma versão generalizada dele. Vale revisar também Teorema de Tales e semelhança de triângulos, outro tema de geometria que costuma aparecer na mesma prova.

Lei dos senos: fórmula e quando usar.

A lei dos senos afirma que, em qualquer triângulo, a razão entre um lado e o seno do ângulo oposto a ele é constante e igual ao diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo: a dividido pelo seno de A é igual a b dividido pelo seno de B, que é igual a c dividido pelo seno de C, e esse valor comum é igual a duas vezes o raio da circunferência circunscrita.

Quando a lei dos senos resolve a questão?

Use a lei dos senos quando a questão der dois ângulos e um lado, ou então um ângulo, o lado oposto a ele e outro lado ou outro ângulo, porque nesses casos sempre existe um par completo de lado e ângulo oposto que permite montar a proporção. Montar proporções com cuidado é a mesma habilidade cobrada em razão e proporção.

A relação com a circunferência circunscrita.

O valor comum das três razões da lei dos senos é sempre igual ao diâmetro da circunferência que passa pelos três vértices do triângulo, o que explica por que triângulos retângulos têm a hipotenusa como esse diâmetro: o ângulo de 90 graus tem seno igual a 1, então a razão lado dividido por seno vira o próprio lado, que é a hipotenusa. Essa mesma circunferência aparece em circunferência, quando a questão pede o raio a partir de um triângulo inscrito.

Lei dos cossenos: fórmula e quando usar.

A lei dos cossenos afirma que o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles: a ao quadrado é igual a b ao quadrado mais c ao quadrado, menos duas vezes b vezes c vezes o cosseno de A.

Quando a lei dos cossenos resolve a questão?

Use a lei dos cossenos quando a questão der dois lados e o ângulo formado entre eles, pedindo o terceiro lado, ou quando der os três lados, pedindo um dos ângulos. Esses são justamente os casos em que a lei dos senos não tem como ser aplicada de imediato, porque falta um par completo de lado e ângulo oposto. Esse cuidado em escolher a fórmula certa também aparece em volume de sólidos geométricos, onde a forma da base decide qual fórmula usar.

A lei dos cossenos é uma generalização de Pitágoras.

Quando o ângulo entre os dois lados conhecidos é de 90 graus, o cosseno desse ângulo vale 0, e a fórmula da lei dos cossenos se reduz exatamente ao Teorema de Pitágoras, a ao quadrado igual a b ao quadrado mais c ao quadrado. É por isso que a lei dos cossenos funciona para qualquer triângulo: o Teorema de Pitágoras é apenas o caso particular em que o ângulo vale 90 graus. Reconhecer um caso particular dentro de uma regra geral é a mesma lógica usada em progressão aritmética e geométrica.

Qual lei usar em cada situação?

A escolha entre as duas leis depende só dos dados que a questão oferece, e uma tabela de decisão evita perder tempo tentando a fórmula errada primeiro.

Dados fornecidos pela questão	Lei a usar
Dois ângulos e um lado qualquer	Lei dos senos
Um ângulo, o lado oposto a ele e mais um dado	Lei dos senos
Dois lados e o ângulo entre eles	Lei dos cossenos
Os três lados, pedindo um ângulo	Lei dos cossenos

Essa mesma lógica de escolher a ferramenta certa a partir dos dados disponíveis aparece em relações métricas no triângulo retângulo, outro tema que tem mais de uma fórmula possível para o mesmo problema.

Exercício resolvido: dois exemplos passo a passo.

Toda conta deste exercício foi conferida em Python antes da publicação, então os resultados abaixo podem ser usados com segurança para revisão.

Exercício simples: lei dos senos em um triângulo com ângulo reto.

Em um triângulo ABC, o ângulo A mede 30 graus, o ângulo C mede 90 graus e o lado c, oposto ao ângulo C e que corresponde à hipotenusa, mede 10 cm. Qual o valor do lado a, oposto ao ângulo A?

1. A lei dos senos dá a relação a dividido pelo seno de A igual a c dividido pelo seno de C.
2. Isolando a, a fórmula fica a igual a c vezes o seno de A, dividido pelo seno de C.
3. O seno de 30 graus vale 0,5, e o seno de 90 graus vale 1.
4. Substituindo, a igual a 10 vezes 0,5, dividido por 1, que resulta em 5 cm.

Exercício no nível de prova: lei dos cossenos, adaptado ao estilo de banca Cebraspe e FGV.

Um triângulo tem dois lados medindo 8 cm e 5 cm, formando entre si um ângulo de 60 graus. Qual é a medida do terceiro lado?

1. A lei dos cossenos dá a fórmula a ao quadrado igual a b ao quadrado mais c ao quadrado, menos duas vezes b vezes c vezes o cosseno de A.
2. Substituindo os valores, a ao quadrado igual a 8 ao quadrado mais 5 ao quadrado, menos duas vezes 8 vezes 5 vezes o cosseno de 60 graus.
3. Calculando cada parte: 8 ao quadrado é 64, 5 ao quadrado é 25, e duas vezes 8 vezes 5 é 80; o cosseno de 60 graus vale 0,5, então 80 vezes 0,5 é 40.
4. Juntando tudo, a ao quadrado igual a 64 mais 25, menos 40, que resulta em 49; a raiz quadrada de 49 é 7, então o terceiro lado mede 7 cm.

Esse tipo de item costuma aparecer junto de uma questão sobre geometria plana, pedindo também o perímetro ou a área do mesmo triângulo, cálculo que usa a mesma base de números decimais ao arredondar o resultado final.

Erros mais comuns na hora da prova.

• Tentar aplicar a lei dos senos quando a questão só dá dois lados e o ângulo entre eles, caso em que só a lei dos cossenos funciona de imediato.
• Esquecer que, na lei dos senos, o lado e o ângulo precisam ser opostos um ao outro, e não vizinhos.
• Trocar o sinal na lei dos cossenos, somando em vez de subtrair o termo com o cosseno.
• Usar o cosseno de um ângulo obtuso como se fosse positivo, esquecendo que o cosseno de ângulos entre 90 e 180 graus é negativo, a mesma lógica de sinal vista em regra de sinais.
• Confundir qual lado corresponde a qual ângulo na hora de montar a equação, especialmente quando o triângulo é desenhado fora da posição padrão.
• Achar que a lei dos cossenos só serve para triângulos obtusângulos, quando na verdade ela vale para qualquer triângulo, incluindo os retângulos, onde ela se reduz a Pitágoras.

Resumo: tabela de decisão rápida.

Lei	Fórmula	Quando usar
Lei dos senos	a/sen A = b/sen B = c/sen C	Dois ângulos e um lado, ou ângulo com lado oposto
Lei dos cossenos	a² = b² + c² − 2bc·cos A	Dois lados e o ângulo entre eles, ou os três lados

Memorize essa tabela, e a primeira pergunta a fazer, em qualquer questão de triângulo qualquer, é: existe um par de lado e ângulo oposto disponível, ou não existe?

Perguntas frequentes sobre lei dos senos e cossenos.

A lei dos senos e a lei dos cossenos servem para triângulo retângulo?

Sim, as duas valem para qualquer triângulo, incluindo o retângulo; nesse caso específico, elas coincidem com as razões trigonométricas básicas e com o Teorema de Pitágoras.

Qual a diferença entre lei dos senos e lei dos cossenos?

A lei dos senos relaciona lado e seno do ângulo oposto a ele, exigindo um par completo de dados; a lei dos cossenos relaciona os três lados e o cosseno de um ângulo, servindo quando esse par completo não está disponível.

Por que a lei dos cossenos é chamada de generalização de Pitágoras?

Porque, quando o ângulo entre os dois lados conhecidos é de 90 graus, o cosseno vale 0 e a fórmula se reduz exatamente ao Teorema de Pitágoras, que é, portanto, um caso particular da lei dos cossenos.

O que fazer quando a questão dá os três lados do triângulo?

Nesse caso, a única ferramenta disponível é a lei dos cossenos, isolando o cosseno do ângulo desejado para depois descobrir sua medida.

Dá para usar as duas leis no mesmo exercício?

Sim, é comum resolver a primeira parte com a lei dos cossenos, para achar um lado que falta, e depois usar a lei dos senos para encontrar um ângulo, já com todos os lados conhecidos.

Pronto para fechar essa lacuna de trigonometria?

Lei dos senos e lei dos cossenos aparecem junto com Pitágoras e razões trigonométricas em praticamente todo edital que cobra matemática e raciocínio lógico. No curso de matemática e raciocínio lógico do Portal Concursos, você revisa trigonometria com aulas ao vivo, banco de questões comentadas e simulados no estilo de cada banca, no seu ritmo de estudo.