Questão 913673

Considere um quadrado de vértices ABCD cuja medida de seu lado é ι. Agora se toma os pontos médios de cada um dos lados deste quadrado e unindo estes pontos médios formamos outro quadrado que representaremos por Q. Agora se toma os pontos médios de cada um dos lados deste quadrado e unindo estes pontos médios formamos outro quadrado que representaremos por Q₁. Em seguida toma-se os pontos médios de Q₁ e unindo-se esses pontos médios forma-se outro quadrado Q₂. Fazendo isso indefinidamente teremos uma sequência de quadrados que representaremos por (Q_n). Note que os lados desses quadrados Q_n que representaremos por L_n também formam uma sequência que representaremos por (L_n), mais precisamente uma progressão geométrica de razão \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) , sendo L_n a medida do lado do nésimo quadrado Q_n.

Qual é a razão entre o valor da medida da diagonal do quadrado da n-ésima etapa e o valor da soma da sequência infinita (L_n), nessa ordem?

Observação: Por exemplo: após a primeira etapa temos o primeiro quadrado Q₁ (cujo lado L₁, mede ι \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) ),..., após a décima etapa temos o décimo quadrado Q \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) ),..., após a décima etapa temos o décimo quadrado Q₁₀,..., após a nésima etapa temos o n-ésimo quadrado Q_n e assim sucessivamente.