Questão 3319363 de Engenharia Mecatrônica - SSPM 2020

Questão

ID 3319363

Disciplina: Engenharia Mecatrônica

Assunto: Condução de Calor Unidimensional nos Regimes Permanentes e Transitório

Ano: 2020 Banca: SSPM - Serviço de Seleção do Pessoal da Marinha Órgão: Marinha do Brasil

Numa haste fina (figura abaixo) com densidade homogénea e comprimento D, a temperatura na haste é dada por u(x,t) , com 0 < x < D , tempo t (t > 0) e A é a área da seção transversal.

Considere que o fluxo de calor ocorre somente na direção x (indicado pela seta na figura),que a superfície lateral da haste isolada, que não há geração interna de calor e que são constantes o calor específico \(\gamma\) e a condutividade térmica k do material. Assim há o seguinte problema de valor de contorno:

\(k\ \frac{\partial^2u}{\partial x^2}=\frac{\partial u}{\partial t},\ 0<x<D,\ t>0,\)

\(u\left(0,t\right)=u\left(D,t\right)=0\)

\(u(x,0) = \left \{ \begin{matrix} 1, 0 < x < {D \over 2} \\ 0, {D \over 2} < x < D \end{matrix} \right.\)

A solução da equação do calor pode ser representada por.

Alternativa A:
\(u\left(x,t\right)=\frac{2}{\pi}.\sum_{n-1}^{\infty}\left(\frac{1-\cos\left(\frac{n}{2}\right)}{n}\right).e^{-k.\left(\frac{n}{D}\right)^2.t}.sen\left(\frac{nx}{D}\right)\)
Alternativa B:
\(u\left(x,t\right)=\sum_{n-1}^{\infty}\left(\frac{1-\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}\right).e^{-k.\left(\frac{n\pi}{D}\right)^2.t}.sen\left(\frac{n\pi x}{D}\right)\)
Alternativa C:
\(u\left(x,t\right)=\frac{2}{\pi}.\sum_{n-1}^{\infty}\left(\frac{1-sen\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}\right).e^{-k.\left(\frac{n\pi}{D}\right)^2.t}.\cos\left(\frac{n\pi x}{D}\right)\)
Alternativa D:
\(u\left(x,t\right)=\frac{2}{\pi}.\sum_{n-1}^{\infty}\left(\frac{1-\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}\right).e^{-k.\left(\frac{n\pi}{D}\right).t}.sen\left(\frac{n\pi x}{D}\right)\)
Alternativa E:
\(u\left(x,t\right)=\frac{2}{\pi}.\sum_{n-1}^{\infty}\left(\frac{1-\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}\right).e^{-k.\left(\frac{n\pi}{D}\right)^2.t}.sen\left(\frac{n\pi x}{D}\right)\)

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Questão 3319363

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