Questão 3308130

Em assimilação variacional, frequentemente são encontrados problemas inversos mal-postos, (ill-posed problems). Esses problemas podem ser convertidos em bem-postos (well-posed) pelo uso de técnicas de regularização. Um exemplo é o uso da regularização de Tikhonov, em que se adiciona um termo de regularização a um funcional a ser minimizado, evitando-se assim instabilidades numéricas durante o cálculo da solução.

Por exemplo: suponha que se busque um vetor x que resolva o sistema 𝐻𝑥 = 𝑦, minimizando-se o funcional

𝐽=‖𝐻𝑥−𝑦‖ \(\begin{matrix} 2 \\2 \end{matrix}\) ,

em que ‖∙‖₂ é a norma 𝐿² (isto é, um problema de mínimos quadrados mal-posto). Pode-se adicionar o termo de regularização de Tikhonov ao funcional, substituindo-o por

𝐽𝛼 = ‖𝐻𝑥 − 𝑦‖ \(_2^2\) + ‖Γ𝑥‖ \(_2^2\) ,

em que Γ = 𝛼𝐼, e 𝐼 é a matriz identidade.

Considere um caso hipotético onde as variáveis 𝐻, 𝑦 e 𝛼 possuem os seguintes valores:

H= \(\begin{bmatrix} 1 &2 \\ 1& 2 \\ 1& 2\\ 1& 2\\ \end{bmatrix}\) , y= \(\begin{bmatrix} -1 \\ 0\\ 1\\2 \end{bmatrix}\) , α =1 .

caso, o vetor 𝑥 que minimiza 𝐽𝛼 é: