Questão 2983739

Considerando as definições, propriedades etc. das funções trigonométricas, dados os argumentos,

I. Para todo real x, \((\operatorname{sen}(x) + \cos(x))^2 = \operatorname{sen}^2(x) + 2\operatorname{sen}(x)\cos(x) + \cos^2(x) e,\) então \((\operatorname{sen}(x) + \cos(x))^2 = 1 + \operatorname{sen}(2x),\) já que \(\operatorname{sen}^2(x) + \cos^2(x) = 1 e 2\operatorname{sen}(x)\cos(x) = \operatorname{sen}(2x).\) Daí, (sen(x) + cos(x))² \(\geq\) 1.

II. Para todo real x tal que \(sen(x)\cos(x)\ne0,\) de \(\operatorname{sen}^2(x) + \cos^2(x) = 1,\) segue que \(\frac{1}{\cos\sec^2(x)}+\frac{1}{\sec^2(x)}=1\) que dá \(\sec^2(x) + \operatorname{cossec}^2(x) = \sec^2(x)\operatorname{cossec}^2(x).\)

III. Para todo real x tal que \(\operatorname{sen}(x) \neq 0,(\operatorname{cotg}^2(x) + 1)(1 - \cos^2(x)) = \left(\frac{\cos^2(x)}{\operatorname{sen}^2(x)} + 1\right)(1 - \cos^2(x)),\) que dá \((\cot g^2(x)+1)(1-\cos^2(x))=\frac{\cos^2(x)+sen^2(x)}{sen^2(x)}(1-\cos^2(x)).\) Daí, \((\cot g^2(x)+1)(1-\cos^2(x))=\frac{1}{sen^2(x)}(1-\cos^2(x))=\frac{1}{sen^2(x)}-\frac{\cos^2(x)}{sen^2(x)}=\frac{1-\cos^2(x)}{sen^2(x)}=\frac{sen^2(x)}{sen^2(x)}\) e, portanto, \((\operatorname{cotg}^2(x) + 1)(1 - \cos^2(x)) = 1.\)

verifica-se que é/são argumento/s matemático/s correto/s