Questão 2931986

Como estratégia para explorar a ideia intuitiva de limites introduzida por Karl Weierstrass, pode-se utilizar o limite de sequências e o método de Eudoxo-Arquimedes, também conhecido como o método da exaustão, o qual consiste na aproximação da área desejada por meio da divisão da região em polígonos de áreas suficientemente pequenas.

Como ilustração, uma professora apresentou aos estudantes de licenciatura em Matemática as figuras das iterações no cálculo da área sob o gráfico da função \(f\left(x\right)=\frac{sen\ x}{x}\) no intervalo [0 , 2].

Ela observou que a área da região desejada pode ser aproximada por uma soma de áreas de retângulos de mesma base e que a aproximação fica melhor à medida que essas bases ficam menores.

Nas figuras, as bases dos retângulos medem \(\frac{2}{n}\) :

Ao variar os valores de n, observa-se que a área desejada é obtida por meio do limite \(_{n\rightarrow\infty}^{\lim}\sum_{i=1}^n\frac{sen\left(\frac{2i}{n}\right)}{\frac{2i}{n}}.\frac{2}{n}\approx1,6054\) , em que \(\frac{sen\left(\frac{2i}{n}\right)}{\frac{2i}{n}}.\frac{2}{n}\) refere-se à área do retângulo com base \(\frac{2}{n}\) e altura \(f\left(\frac{2i}{n}\right)=\frac{sen\left(\frac{2i}{n}\right)}{\frac{2i}{n}}\) .

Qual alternativa expressa corretamente uma formalização para o cálculo da área desejada?