Questão 2807953

De acordo com o Teorema Fundamental da Aritmética, todo número natural n>1 escreve-se, de forma única, como

\(n=p_1\ ^{\alpha_1}\cdot p_2\ ^{\alpha_2}\cdot...\cdot p_k\ ^{\alpha_k}\) ,

para algum \(k\ ∈\ \mathbb{N}=\left\{1,2,3,\ ...\right\}\) , em que \(p_1<p_2<...<p_k\) são números primos e cada expoente \(\alpha_i,i=1,\ ...,\ k\) , é um número natural.

Assim, por exemplo, 16 = 2⁴, 17 = 17¹ e 18 = 2¹ · 3².

Denotando por \(\mathbb{N}=\left\{1,2,3\ ...\right\}\) o conjunto de todos os números naturais, considere as seguintes funções:

\(f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\)

\(n↦f\left(n\right)=\) \(\left \{ \begin{matrix} 1, \ se \ n=1 \\ \alpha_1, \ se \ p_1^{\alpha_1}.....p_k^{\alpha_k}=n>1 \end{matrix} \right.\)

e

\(g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\)

\(n↦g\left(n\right)=\) \(\left \{ \begin{matrix} 1, \ se \ n=1 \\ p_1, \ se \ p_1^{\alpha_1}.....p_k^{\alpha_k}=n>1 \end{matrix} \right.\)

É CORRETO afirmar que