Questão 2803254

Durante uma aula no 3º ano do Ensino Médio, um professor propõe a análise da seguinte equação:

𝑥³ − 6𝑥² + 11𝑥 − 6 = 0

Um estudante, ao observar os coeficientes, utiliza corretamente as Relações de Girard e afirma que a soma das raízes é 6 e o produto também é 6. Em seguida, outro estudante questiona: “É possível determinar se as raízes são reais ou complexas sem resolver a equação explicitamente?”. O professor decide explorar essa dúvida como oportunidade para aprofundar a compreensão dos estudantes sobre as propriedades dos polinômios. Considerando os aspectos matemáticos envolvidos e o potencial pedagógico da situação, analise as assertivas a seguir:

I. Se um polinômio de grau 𝑛 com coeficientes reais possui uma raiz complexa 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ( 𝑏 ≠ 0), então seu conjugado 𝑧̅= 𝑎 − 𝑏𝑖 também é obrigatoriamente raiz do polinômio.

II. Para a equação 𝑥³ − 6𝑥² + 11𝑥 − 6 = 0, as Relações de Girard permitem concluir que, se as raízes estiverem em progressão aritmética, a raiz central será necessariamente igual a 2.

III. O Teorema Fundamental da Álgebra garante que um polinômio de grau 𝑛 ≥ 1 possui exatamente 𝑛 raízes reais, contando multiplicidades.

IV. De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, se o polinômio 𝑃(𝑥) 𝑥³ - 6𝑥² + 11𝑥 − 6 possuir raízes racionais, elas pertencerão obrigatoriamente ao conjunto {−6, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 6}.

Quais estão corretas?