Questão 2438700

O número de ouro, ou razão áurea, é um número real positivo, misterioso e enigmático, que aparece em uma infinidade de elementos na natureza na forma de uma razão. Esse número é representado pela letra grega phi ( \(\phi\) ) Considere o procedimento abaixo, como sendo, um dos meios matemáticos para a determinação desse número:

Seja um segmento \(\overline{AB}\) de uma unidade de comprimento e um ponto x que divide esse segmento. Logo, temos dois novos segmentos, \(\overline{AX}\) e \(\overline{XB}\) , que medem, respectivamente, x e 1 - x unidades de comprimento.

A definição de Euclides, encontrada no seu livro VI dos Elementos de Euclides, diz: "Um segmento de reta se diz dividido em média e extrema razão, se a razão entre o menor e o maior dos segmentos é igual à razão entre o maior e o segmento todo". Uma das formas de reescrever essa definição é dada pela equação:

\(\frac{1-x}{x}=\frac{x}{1}\)

Ajustando a expressão acima, obtém-se uma equação quadrática com raízes reais. Por fim, tem-se que \(\phi\) é a razão entre os segmentos \(\overline {AX}\) e \(\overline {XB}\) . Pode-se determinar o número \(\phi\) como: