Questão 2173448 de Matemática - IFPA 2022

Questão

ID 2173448

Disciplina: Matemática

Assunto: Binômio de Newton

Ano: 2022 Banca: IFPA - Instituto Federal do Pará Órgão: Instituto Federal do Pará

Um professor de Cálculo Diferencial e Integral, com intuito de demonstrar que dada a função 𝑓(𝑥) = 𝑥^𝑛 , a sua derivada é 𝑓′ (𝑥) = 𝑛𝑥^𝑛−1 , usando definição de derivada como um limite, chegou à seguinte expressão:

𝑓′ (𝑥) = \(_{\Delta x\to0}^{\lim}\ \frac{\left(x+\Delta x\right)^n-x^n}{\Delta x}\)

A expansão do termo (𝑥 + ∆𝑥)^𝑛 é dado por

Alternativa A:
𝑛𝑥^𝑛−1∆𝑥 + \(\frac{n\left(n-1\right)}{2}x^{n-2}\left(\Delta x\right)^2+\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{6}x^{n-3}\left(\Delta x\right)^3+...+\left(\Delta x\right)^n.\)
Alternativa B:
𝑥^𝑛 + 𝑛𝑥^𝑛−1∆𝑥 + \(\frac{n\left(n-1\right)}{2}x^{n-2}\left(\Delta x\right)^2+\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{6}x^{n-3}\left(\Delta x\right)^3\left(\Delta x\right)^n.\)
Alternativa C:
𝑥^𝑛 + 𝑛𝑥^𝑛−1∆𝑥 + \(\frac{n\left(n-2\right)}{2}x^{n-3}\left(\Delta x\right)^3+...\ +\left(\Delta x\right)^n.\)
Alternativa D:
𝑥^𝑛 + 𝑛𝑥^𝑛−1∆𝑥 + \(\frac{n\left(n-1\right)}{2}x^{n-2}\left(\Delta x\right)^2+\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{6}x^{n-3}\left(\Delta x\right)^3+...+\left(\Delta x\right)^n.\)
Alternativa E:
𝑥^𝑛 + 𝑛𝑥^𝑛−1∆𝑥 + \(\frac{n\left(n-1\right)}{6}\) \(x^{n-3}\) \(\left(\Delta x\right)^3+...+\left(\Delta x\right)^n\)

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