Questão 2112856

Considere as afirmações a seguir.

I. Todo espaço vetorial é um anel, mas nem todo anel é um espaço vetorial.

II. Seja 𝐹 o espaço vetorial de todas as funções reais, com domínio real, contínuas sobre o corpo ℝ. Seja 𝐴 ⊂ 𝐹, o subespaço gerado pelas funções 𝑓, 𝑔, 𝑟, dadas por 𝑓(𝑥) = 𝑒^𝑥, 𝑔(𝑥) = 𝑒^−𝑥, 𝑟(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥), isto é, 𝐴 = ⟨𝑒^𝑥, 𝑒^−𝑥 , 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)⟩. Como a dimensão de 𝐴 é finita, podemos estabelecer um isomorfismo entre 𝐴 e ℝ³.

III. Seja 𝑇: ℝ⁴ → ℝ³ uma transformação linear, tal que 𝑁(𝑇) = ⟨(0,0,0,1)⟩, isto é, o núcleo de 𝑇 é o espaço vetorial gerado pelo vetor (0,0,0,1). Defina em ℝ4 a relação ∼, dada por: 𝑢 ∼ 𝑣 ⟺ 𝑢 − 𝑣 ∈ 𝑁(𝑇). Assim, podemos dizer que \(\frac{ℝ^4}{∼}=\) { \({\bar 0, \bar 1, \bar 2, \bar 3}\) }.

IV. Dada uma coleção infinita de subespaços de um espaço 𝑉, é sempre possível achar um subespaço na interseção dos subespaços dessa coleção.

V. Dados 𝐴, 𝐵, subespaços de um espaço vetorial 𝑉, o conjunto 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑐 ∈ 𝑉: 𝑐 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑐 ∈ 𝐵} não é um subespaço de 𝑉.

Analisando os itens acima, podemos afirmar que: