Considere os vetores 𝑣 1 = 𝑒 −2𝑡 , 𝑣 2 = 𝑒 −𝑡 , 𝑣 3 = 𝑒 𝑡 , 𝑣 4 = 𝑒 2𝑡 , 𝑤 1 = 𝑠𝑒𝑛(−2𝑡), 𝑤 2 = 𝑐𝑜𝑠(−𝑡), 𝑤 3 = 𝑐𝑜𝑠(𝑡), 𝑤 4 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑡). Considere ainda os espaços 𝑉 e 𝑊, gerados pelos vetores 𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 , 𝑣 4 e 𝑤 1 , 𝑤 2 , 𝑤 3 , 𝑤 4 , respectivamente, isto é, 𝑉 = ⟨𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 , 𝑣 4 ⟩ e 𝑊 = ⟨𝑤 1 , 𝑤 2 , 𝑤 3 , 𝑤 4 ⟩. Defina a transformação linear 𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑊, dada por 𝑇(𝑥𝑒 −2𝑡 + 𝑦𝑒 −𝑡 + 𝑧𝑒 𝑡 + 𝑤𝑒 2𝑡 ) = [𝑥 + 𝑦]𝑠𝑒𝑛(−2𝑡) + [𝑦 + 𝑧]𝑐𝑜𝑠(−𝑡) + [𝑧 + 𝑤]𝑐𝑜𝑠(𝑡) + [𝑤 − 𝑥]𝑠𝑒𝑛(2𝑡). Assim, a alternativa que apresenta a única afirmação CORRETA é:

𝑇(𝑣 1 ), 𝑇(𝑣 3 ) ∈ ⟨𝑇(𝑣 2 ), 𝑇(𝑣 4 )⟩

Uma possível matriz de representação de 𝑇 é dada por \(\begin{bmatrix} 1&1&0&0 \\ 0&1&1&0 \\ 0&0&1&1 \\ -1&0&0&1 \end{bmatrix}\)

Questão 2112855 de Matemática - IF/ES 2022

Questão

ID 2112855

Disciplina: Matemática

Assunto: Transformações Lineares

Ano: 2022 Banca: IF/ES Órgão: Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo

Considere os vetores 𝑣₁ = 𝑒^−2𝑡, 𝑣₂ = 𝑒^−𝑡, 𝑣₃ = 𝑒^𝑡, 𝑣₄ = 𝑒^2𝑡, 𝑤₁ = 𝑠𝑒𝑛(−2𝑡), 𝑤₂ = 𝑐𝑜𝑠(−𝑡), 𝑤₃ = 𝑐𝑜𝑠(𝑡), 𝑤₄ = 𝑠𝑒𝑛(2𝑡). Considere ainda os espaços 𝑉 e 𝑊, gerados pelos vetores 𝑣₁, 𝑣₂, 𝑣₃, 𝑣₄ e 𝑤₁, 𝑤₂, 𝑤₃, 𝑤₄, respectivamente, isto é, 𝑉 = ⟨𝑣₁, 𝑣₂, 𝑣₃, 𝑣₄ ⟩ e 𝑊 = ⟨𝑤₁, 𝑤₂, 𝑤₃, 𝑤₄ ⟩. Defina a transformação linear 𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑊, dada por 𝑇(𝑥𝑒^−2𝑡 + 𝑦𝑒^−𝑡 + 𝑧𝑒^𝑡 + 𝑤𝑒^2𝑡 ) = [𝑥 + 𝑦]𝑠𝑒𝑛(−2𝑡) + [𝑦 + 𝑧]𝑐𝑜𝑠(−𝑡) + [𝑧 + 𝑤]𝑐𝑜𝑠(𝑡) + [𝑤 − 𝑥]𝑠𝑒𝑛(2𝑡).

Assim, a alternativa que apresenta a única afirmação CORRETA é:

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Questão 2112855

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