Questão 198503

O método de integração tem sua origem no método da exaustão, o qual admite que uma grandeza possa ser subdividida indefinidamente e sua base seja a proposição: se de uma grandeza qualquer subtrai-se uma parte não menor que sua metade, do restante subtrai-se também uma parte não menor que sua metade, e assim por diante, se chegará, por fim, a uma grandeza menor que qualquer outra predeterminada da mesma espécie. Arquimedes aplicou este método para calcular a área de uma região limitada por um arco de parábola e pelo segmento que une as extremidades de tal arco (problema conhecido como a quadratura da parábola).

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(EVENS, Howard. Introdução à história da Matemática. Editora Unicamp. 2004.)

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Considere o arco de parábola 𝞿 de extremidades

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A e B e os pontos C, D, E de 𝞿, obtidos traçando-se os segmentos LC, MD, NE paralelos ao eixo focal da parábola, onde L, M, N são pontos médios dos segmentos AB, AC, BC, respectivamente (veja Figura 1). Denotando, de maneira geral, \(△\)(vértices do triângulo) como área do triangulo de vértices destacados, Arquimedes mostrou que

\(\quad\)

\(\Delta (ADC)+\Delta (BEC)=\frac{\Delta (ABC)}{4},\)

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Repetindo sucessivamente esse raciocínio, conclui-se que a área da região limitada pelo arco de parábola e pelo segmento AB (segmento parabólico) é dada por

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\(△\left(ABC\right)+\frac{△\left(ABC\right)}{4}+\frac{△\left(ABC\right)}{4^2}+\frac{△\left(ABC\right)}{4^3}+...\)

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Dada a parábola e seus pontos \(y=x^2-4x+4\) A(1,1) e B(4,4), o valor da área do segmento parabólico, em unidade de área, é: