Questão 1619926

No ano de 2024, na sua aula de Divertimentos Matemáticos, o Professor Numerisvaldo Perplexo, levando em consideração que todos os seus alunos nasceram depois dos anos 2000, propôs o seguinte problema:

Seja \(\mathcal{L}\) o conjunto de todos os pontos \(z\ =\ a\ +\ ib\ =\ \left(a,b\right)\ ∈\) \(\mathbb{C}\) \ \(\left\{-\ i\ =\ \left(0,-1\right)\right\}\) que satisfazem à equação

\(\begin{vmatrix} z-i \\ \overline{z+i} \\ \end{vmatrix}\) = AAAA,

em que cada aluno que estava na aula deveria substituir AAAA pelo ano do seu nascimento. O que se pode afirmar a respeito dos pontos

\(z\ =\ a\ +\ ib\ =\ \left(a,\ b\right)\ ∈\) \(\mathcal{L}\) ∩ \(\left ( \mathbb{Q} x \mathbb{Q}\right )\) ?

Após analisar o problema, três dos alunos expuseram suas conclusões:

I- Zé Gauss disse que \(\mathcal{L}\) ∩ \(\left ( \mathbb{Q} x \mathbb{Q}\right )\) é sempre diferente do conjunto vazio.

II- Chico Euler disse que os pontos de \(\mathcal{L}\) ∩ \(\left ( \mathbb{Q} x \mathbb{Q}\right )\) , quando este conjunto é diferente do vazio, estão sempre sobre uma circunferência.

III- Tião Argand disse que para alguns valores de AAAA o conjunto \(\mathcal{L}\) ∩ \(\left ( \mathbb{Q} x \mathbb{Q}\right )\) é vazio. \(\left ( \mathbb{Q} x \mathbb{Q}\right )\) é vazio.

É CORRETO o que se afirma apenas em: