Questão 1438146

Considere um quadrado de vértices ABCD cuja medida de seu lado é l . Agora se toma os pontos médios de cada um dos lados deste quadrado e unindo estes pontos médios formamos outro quadrado que representaremos por \(Q_1.\) Em seguida toma-se os pontos médios de \(Q_1\) e unindo-se esses pontos médios forma-se outro quadrado \(Q_2\) . Fazendo isso indefinidamente teremos uma sequência de quadrados que representaremos por \((Q_n).\\) Note que os lados desses quadrados \(Q_n\) que representaremos por \(L_n\) também formam uma sequência que representaremos por \((L_n)\) , mais precisamente uma progressão geométrica de razão \(\frac{\sqrt{2}}{2},\) sendo \(L_n\) a medida do lado do n-ésimo quadrado \(Q_n.\)

Qual é a razão entre o valor da medida da diagonal do quadrado da n-ésima etapa e o valor da soma da sequência infinita \((L_n),\ nessa\ ordem?\)

Observação: Por exemplo: após a primeira etapa temos o primeiro quadrado \(Q_1\) (cujo lado \(L_1\) mede \(l\ \frac{\sqrt{2}}{2}\) ),..., após a décima etapa temos o décimo quadrado \(Q_{10},...,\) após a nésima etapa temos o n-ésimo quadrado \(Q_n\) e assim sucessivamente.