Questão 100336

Uma codificação de mensagens pode ser efetuada por uma expressão da forma \(\Psi\) = \(\Phi \Omega\) , em que \(\Omega\) é uma matriz 3 × \(n\), com entradas inteiras e representa a mensagem a ser enviada, pré-codificada, \(\Phi\) é a matriz codificadora, 3 × 3, inversível, e \(\Psi\) é a mensagem que chega ao destino, codificada. Conhecendo-se a matriz codificadora \( \Phi \) , é possível decodificar a mensagem — ou seja, recuperar a mensagem original — pela expressão \(\Omega = \Phi^{-1} \Psi \) . Considere uma codificação de mensagem em que a cada letra do alfabeto é associado um número inteiro, da seguinte forma:

A \(\to\) 1, B \(\to\) 2, C \(\to\) 3, ..., Z \(\to\) 26, * \(\to\) 27,

em que * serve para separar palavras e(ou) completar a matriz de mensagem, codificada. A pré-codificação é feita da seguinte forma:

Passo 1: completa-se a mensagem a ser codificada com espaços em branco, acrescentados ao final da mensagem original, até que o número total de caracteres a serem codificados — incluindo-se espaços em branco — seja um número da forma 3\(n\);

Passo 2: associa-se à mensagem completada de acordo com o passo 1 uma matriz 3 × \(n\), como no exemplo seguinte:

DISTRITO FEDERAL\(\to\) \(\Omega= \begin{vmatrix} 4 & 9 & 19 & 20 & 18 & 9 \ 20 & 15 & 27 & 6 & 5 & 4 \ 5 & 18 & 1 & 12 & 27 & 27 \ \end{vmatrix}\) .

Considere que a matriz codificadora seja \(\Phi = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 \ 1 & 1 & 1 \ \end{vmatrix}\) e que ao destino seja enviada a matriz \(\Psi\), que é a mensagem codificada. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.

A matriz é \(\Phi\) diagonalizável.