Questão 855774

Considere o modelo de regressão linear múltipla com intercepto, da variável dependente Y sobre as p variáveis independentes (X₁, X₂, ..., X_p), na forma matricial:

E(Y) = X. \(\beta\)

Utilizando uma amostra de tamanho n, obtemos o estimador dos mínimos quadrados ordinários \(\hat \beta\) =(X^TX)^-1X^TY. Os valores estimados de Y, \(\hat Y\) =X \(\hat \beta\) , podem ser expressos por meio de \(\hat Y\) = X.(X^TX)^-1X^TY.

Fazendo H = X.(X^TX)^-1X^T, tem-se \(\hat Y\) =H.Y, sendo a matriz n x n, H, denominada matriz de projeção, isto é, a matriz que projeta o vetor das observações amostrais, Y, no espaço dos valores estimados \(\hat Y\) .

Diante das considerações feitas acima, observe as afirmações a seguir.:

I - H é uma matriz idempotente.

II - \(\sum_{i=1}^nh_{ii}\) = rank(X) = p, onde h_ii é o iº elemento da diagonal da matriz H.

III - H.(I – H) = O, onde I é a matriz identidade e O, a matriz nula.

IV - e = (I – H).Y, onde e é o vetor dos resíduos amostrais.

Está correto o que se afirma em: