Questão 67325

Em uma disciplina de Lógica e Matemática Discreta, um professor está ensinando Teoria de Conjuntos e quer que seus alunos compreendam as operações básicas (União, Interseção, Diferença) e como elas podem ser usadas para resolver problemas de contagem. Para isso, ele apresenta o **Princípio da Inclusão-Exclusão**. Ele explica: "Ao contar o número de elementos na união de dois conjuntos, se simplesmente somarmos o número de elementos de cada conjunto, os elementos que estão na interseção serão contados duas vezes. O Princípio da Inclusão-Exclusão corrige isso. Para dois conjuntos A e B, o tamanho da união é dado por: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$. Ou seja, somamos os tamanhos dos dois conjuntos e subtraímos o tamanho da interseção para compensar a contagem dupla." Para a atividade prática, ele propõe um problema clássico de pesquisa de survey:

"Em uma sala de aula de 35 alunos, uma pesquisa revelou que: - 20 alunos gostam de programação (Conjunto P). - 15 alunos gostam de redes (Conjunto R). - 8 alunos gostam de programação E de redes (a interseção P ∩ R)."

A tarefa dos alunos é usar o Princípio da Inclusão-Exclusão para responder a duas perguntas: (1) Quantos alunos gostam de pelo menos uma das duas áreas (programação OU redes)? (2) Quantos alunos não gostam de nenhuma das duas áreas?

Avaliando o problema com o Princípio da Inclusão-Exclusão, analise as seguintes afirmações.

I. O número de alunos que gostam de programação OU redes é dado por $|P \cup R| = |P| + |R| - |P \cap R| = 20 + 15 - 8 = 27$.

II. O número de alunos que não gostam de nenhuma das duas áreas é o número total de alunos menos o número de alunos que gostam de pelo menos uma. Ou seja, $35 - |P \cup R| = 35 - 27 = 8$.

III. O cálculo está incorreto. Para encontrar o número de alunos que gostam de programação OU redes, basta somar 20 + 15 = 35, o que significa que todos os alunos gostam de pelo menos uma das áreas.

É correto o que se afirma em: