Questão 67193

Em uma disciplina de Inteligência Artificial, a professora está explicando o Teorema de Bayes e sua aplicação em sistemas de classificação probabilística, como os filtros de spam. Ela quer que os alunos entendam a lógica por trás do teorema, não apenas a fórmula. Ela apresenta a fórmula: $P(H|E) = \frac{P(E|H) \cdot P(H)}{P(E)}$. E explica intuitivamente: "O Teorema de Bayes nos permite atualizar nossa crença em uma hipótese ($H$) à luz de uma nova evidência ($E$). $P(H)$ é a nossa crença inicial na hipótese (a 'probabilidade a priori'). $P(H|E)$ é a nossa crença atualizada após vermos a evidência (a 'probabilidade a posteriori'). O termo chave é $P(E|H)$, a probabilidade de vermos a evidência se a hipótese for verdadeira. Bayes nos diz para atualizar nossa crença multiplicando nossa crença anterior pela probabilidade da evidência dada a hipótese." Ela então aplica ao problema de spam: a hipótese $H$ é 'a mensagem é spam'. A evidência $E$ é 'a mensagem contém a palavra 'grátis'." Ela fornece os seguintes dados (hipotéticos):

- 50% de todos os e-mails recebidos são spam. ($P(H) = 0.5$) - 80% das mensagens de spam contêm a palavra 'grátis'. ($P(E|H) = 0.8$) - 10% das mensagens legítimas (não-spam) contêm a palavra 'grátis'. ($P(E|\neg H) = 0.1$)

A tarefa dos alunos é calcular $P(H|E)$: a probabilidade de uma mensagem ser spam, *dado que* ela contém a palavra 'grátis'.

Qual é o cálculo correto para $P(H|E)$ e o que ele significa?

Nota: Lembre-se que $P(E) = P(E|H)P(H) + P(E|\neg H)P(\neg H)$.