Questão 3313964

Um estudo realizado para avaliar a associação linear entre o índice de qualidade dos serviços prestados por empresas de TV por assinatura (X) e o índice de fidelização de seus usuários (Y) contou com informações fornecidas por 20 empresas e foram considerados três diferentes modelos de regressão linear simples:

Y_k = a₀ + a₁ X_k + ε_k,

Y_k = b₁ X_k + ε_k,

X_k = c₀ + c₁ Y_k + ε_k,

em que k = 1, ..., 20; Y_k representa o índice de fidelização na empresa k; e X_k denota a qualidade dos serviços prestados pela empresa k. Os termos ε₁, ...,ε₂₀ representam erros aleatórios independentes e identicamente distribuídos, com média zero e desvio padrão σ.

A partir dessas informações, julgue os próximos itens, considerando que a estimativa do coeficiente a₁ obtida pelo método de mínimos quadrados ordinários seja \(\mathbf{\hat a_1 = 0,5}\) e que

\(\mathbf{\bar X = \begin{matrix} 20 \\ \sum \\ k=1 \end{matrix} \frac{X_k}{20}=3 ; \bar Y= \begin{matrix} 20 \\ \sum \\ k=1 \end{matrix} \frac{Y_k}{20}=4;}\)

\(\mathbf{\begin{matrix} 20 \\ \sum \\ k=1 \end{matrix} (X_k - \bar X)²=20; \begin{matrix} 20 \\ \sum \\ k=1 \end{matrix} (Y_k - \bar Y)²=80.}\)

Na regressão linear que passa pela origem, a estimativa de mínimos quadrados ordinários do coeficiente b₁ é igual a \(\mathbf{\frac{4}{3}}\) .