Questão 3311476

Texto 7A3-I

O coeficiente de correlação linear de Pearson entre duas variáveis aleatórias discretas X e Y definidas sobre um mesmo espaço amostral é dado por

\(=\frac{^{CORR\left(X,Y\right)}n\left(\sum_{i=1}^nx_iy_i\right)-\left(\sum_{i-1}^nx_i\right)\left(\sum_{i-1}^ny_i\right)}{\sqrt{n\left(\sum_{i-1}^nx_1^2\right)-\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\ }\sqrt{n\left(\sum_{i=1}^ny_i^2\right)-\left(\sum_{i=1}^ny_i\right)^2}}\)

Já na reta de melhor ajuste \(Y = aX + b\) , determinada pelo método dos mínimos quadrados, os coeficientes são dados por

\(a=\frac{n\left(\sum_{i=1}^nx_iy_i\right)-\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)\left(\sum_{i=1}^ny_i\right)}{n\left(\sum_{i=1}^ny_i-a\sum_{i=1}^nx_i\right)^2}\)

\(b=\frac{\sum_{i=1}^ny_i-a\ \sum_{i=1}^nx_i}{n}.\)

Uma forma de avaliar a precisão do modelo consiste em comparar o estimador não viesado da variância residual, obtido das diferenças entre os valores observados e os previstos pelo modelo, \(S_e=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\) \((y_i-\hat y_i)^2\) , com o estimador não viesado da variância dos valores observados, \(S_e=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(y_i-\overline{y}\right)^2.\)

A tabela a seguir apresenta as penas de reclusão (P), em anos, cominadas a um grupo de dez réus, e suas respectivas rendas familiares mensais per capitas (R), em número de salários mínimos, em que a última coluna foi obtida usando a reta ajustada pelo método dos mínimos quadrados.

dados:

1903,4^1/2 = 43,63

141,25^1/2 = 11,88

Considerando-se o texto 7A3-I, a relação entre o coeficiente de correlação linear entre as variáveis X e Y e o coeficiente angular, da reta de melhor ajuste aos dados determinada pelo método dos mínimos quadrados pode ser expressa por