Questão 3311114

O coeficiente de correlação linear de Pearson entre duas variáveis aleatórias discretas X e Y definidas sobre um mesmo espaço amostral é dado por

\(CORR\left(X,Y\right)=\frac{n\left(\sum_{i=1}^nx_iy_i\right)\ -\ \left(\sum_{i=1}^nx_1\right)\left(\sum_{i=1}^ny_i\right)}{\sqrt{n\ \left(\sum_{i=1}^nx_i^2\right)-\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^{2\ }\sqrt{n\left(\sum_{i=1}^n\ y_i^2\right)-\left(\sum_{i=1}^ny_i\right)^2}}}\)

Já na reta de melhor ajuste Y = aX + b, determinada pelo método dos mínimos quadrados, os coeficientes são dados por

\(a=\frac{n\left(\sum_{i=1}^nx_iy_i\right)-\ \left(\sum_{i=1}^nx_i\right)\ \left(\sum_{i=1}^ny_i\right)}{n\left(\sum_{i=1}^nx_i^2\right)-\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2}\)

\(b=\frac{\sum_{i=1}^ny_i-a\ \sum_{i=1}^nx_i}{n}\)

Uma forma de avaliar a precisão do modelo consiste em comparar o estimador não viesado da variância residual, obtidos das diferenças entre os valores observados e os previstos pelo modelo, \(\hat{S}\) _e \(=\frac{1}{n-2}\) \(\sum_{i=1}^n\) ( \(y_i-\) \(\hat{y}\) \(_i\) ) \(^2\) , com o estimador não viesado da variância dos valores observados, \(S_e=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(y_i-\overline{y\ }\right)^2\) .

Tal avaliação também pode ser realizada pela aferição na redução da soma dos quadrados dos resíduos na passagem do modelo simples, em que as observações são aproximadas por sua média, para o modelo de regressão linear, redução esta que é dada por

\(\sum_{i-1}^n\) \((\hat{y}\) \(_i-\overline{y}\) )² \(=a^2\ \sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^2\)

Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.

A verificação, para certo conjunto de dados, de que seja inferior a evidencia a desvantagem, para esse conjunto de dados, da adoção do modelo linear previsto pelo método dos mínimos quadrados em detrimento da aproximação dos valores da variável Y por sua média.