Questão 3311055 de Estatística - Instituto Consulplan 2021

Questão

ID 3311055

Disciplina: Estatística

Assunto: Estimador de Momentos

Ano: 2021 Banca: Instituto Consulplan Órgão: Instituto de Previdência e Assistência dos Servidores Municipais de São Gonçalo

Uma variável aleatória X possui distribuição Gama com parâmetros 𝜶 e 𝛃 se a sua função densidade de probabilidade é dada por:

\(f(x)=\frac{\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha ) }\) \(x^{\alpha-1}e^{-\beta x},x>0\) e \(\begin{matrix} E(X)=\frac{\alpha }{\beta } & \\ Var(X)=\frac{\alpha }{\beta ^{2}} & \\ \end{matrix}\)

O método dos momentos é um dos procedimentos de estimação pontual mais utilizados na inferência estatística. Considere X₁ , X₂ ,…, X_n uma amostra aleatória de tamanho n da variável X e \(\overline{X}\) \(\sum_i^n=_1\frac{x_i}{n}\) . Dessa forma, é correto afirmar que os estimadores de momentos \(\widehat{\alpha }\) e \(\widehat{\beta }\) para os parâmetros 𝜶 e 𝜷 são dados por:

Alternativa A:
\(\widehat{\alpha} =\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}}{n\overline{X}^{2}}\) e \(\widehat{\beta } =\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}}{n\overline{X}}\)
Alternativa B:
\(\widehat{\alpha } =\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}}{n\overline{X}^{2}}\) e \(\widehat{\beta} =\frac{n\overline{X}}{\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2} }\)
Alternativa C:
\(\widehat{\alpha } =\frac{n\overline{X}^{2}}{\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}}\) e \(\widehat{\beta } =\frac{n\overline{X}}{\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2} }\)
Alternativa D:
\(\widehat{\alpha } =\frac{n\overline{X}^{2}}{\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2} }\) e \(\widehat{\beta} =\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2} }{n\overline{X}}\)

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