Questão 3308091

Um modelo de regressão linear entre uma variável aleatória Y (dependente) e uma variável não aleatória X (independente) é definido por \(Y = β_0 + β_1X + є\) , em que є , denominado erro aleatório, é uma variável aleatória independente de X \(E(є) = 0\) e desvio padrão \(Var(є) = σ^2.\) Um modelo de regressão linear é essencialmente um modelo para a probabilidade condicional de Y com relação a X, denotada por P(Y|X) ; ele é chamado de simples se є for uma variável aleatória gaussiana. Fixando-se n valores \(X_1, X_2,⋯, X_n\) para a variável independente X, pode-se definir n variáveis aleatórias \(Y_i = β_0 + β_1X_i + є_i,\) com \(i = 1, ⋯ , n\) . Pelo método dos mínimos quadrados, é possível obter estimadores \(\hat{\beta }_0\) e \(\hat{\beta }_1\) para os parâmetros \(\hat{\beta }_0\) e \(\hat{\beta }_1\) e definir o \(\hat{Y}_i=\hat{\beta }_0+\hat{\beta }_1X_i\) como o estimador para \(Y_i\) . Nesse contexto, são definidos os erros, denominados resíduos, como \(Y_i-\hat{Y}_i=e_i,\) a soma dos quadrados dos resíduos \(SQE=\sum _i\) \(e_i^2\) , a soma dos quadrados totais \(SQE=\sum _i(Y_i-\overline{Y})^2\) e a soma dos quadrados de regressão \(SQE=\sum _i(\hat{Y}_i-\overline{Y})^2\) , com \(\overline{Y}=\sum _iY_i⁄n.\)

Com base nessas informações, julgue os próximos itens, considerando uma variável T, com média nula e desvio padrão unitário, definida por uma distribuição t de Student com 30 graus de liberdade, que tenha o seguinte intervalo com probabilidade de \(0,95: P(−2,042 < T < 2,042) = 0,95.\)

Para um modelo de regressão linear, vale a relação linear \(E(Y)\beta _0+\beta _1X\) para a média \(E\left(Y\right)\) da variável Y.