Questão 3307801

Seja um modelo não linear dado por:

\(\begin{matrix} 𝑥_𝑘 = 𝑀(𝑥_{𝑘−1}) + 𝑞_{𝑘−1}, & q_{𝑘−1}\sim𝒩(0,𝑄); \\ 𝑦_𝑘 = 𝐻(𝑥_k) + 𝑟_𝑘, & r_𝑘\sim𝒩(0,𝑅), \\ \end{matrix}\)

em que: 𝑥𝑘 é um vetor de estados de 𝑛 dimensões em um dado instante de tempo 𝑘; 𝑀 e 𝐻 são mapeamentos não-lineares de 𝑅 ^𝑛 para 𝑅 ^𝑛 e de 𝑅 ^𝑚 para 𝑅 ^𝑚, respectivamente; 𝑞 e 𝑟 são vetores aleatórios gaussianos de média nula e covariância 𝑄 e 𝑅, respectivamente.

Considere a implementação de um Filtro de Kalman por Conjunto (Ensemble Kalman Filter - EnKF) com 1000 pontos representando possíveis estados. Cada um dos 1000 pontos é denotado \(x_t^{\left(i\right)}\) , onde 𝑖 é inteiro e varia de 1 a 1000.

Considere, ainda, que a média dos pontos do conjunto no instante 𝑘 pode ser representada por \(\overline{X_k}\) = \(\sum_{i=1}^{1000}\frac{x_k^{\left(i\right)}}{1000}\) , e que o ganho de Kalman no instante 𝑘 é geralmente representado pelo produto de uma matriz 𝐴 pela inversa de uma matriz 𝐵 (𝐾_𝑘=𝐴𝐵⁻¹).

Considerando as condições enunciadas acima, para garantir estimativas de covariâncias não enviesadas, a matriz 𝐴 pode ser calculada pela expressão: