Questão 3307534

Para uma variável aleatória X, de média \(E\left(X\right)=μ\) e variância \(Var\left(X\right)=σ^2\) , uma amostra aleatória de tamanho n constituída por um conjunto \({X_1, X_2,⋯, X_n}\) de n variáveis aleatórias idênticas a X e estatisticamente independentes entre si. Essa amostra aleatória de X tem média amostral definida como sendo a variável aleatória \(\bar{X_n}\) \(= (X_1 + X_2 + ⋯ + X_n ) ⁄ n.\) Se um estimador estatístico para um parâmetro \(\theta\) , associado à distribuição de probabilidade de X, for denotado por \(\hat{\theta }\) , então o estimador para μ , da referida amostra aleatória, será \(\hat{\mu}_n=\overline{X}_n\) .

Com base nessas informações, julgue os itens a seguir, considerando que os resultados do teorema do limite central são fundamentais para embasar a análise da qualidade dos estimadores estatísticos de um parâmetro.

Para um valor \(0<\alpha<1,\) o intervalo de confiança, com confiança \(1-\alpha,\) para a estimativa de \(E(X)=\mu ,\) utilizando-se o estimador \(\hat{\mu }_n\) , será assintoticamente \((n\to\infty)\) dado por \((\overline{X}_n-z_\alpha \sigma ⁄\sqrt{n},\overline{X}_n+z_\alpha \sigma ⁄\sqrt{n}),\) em que \(z_\alpha\) é o quantil \(\alpha\) da distribuição \(N\left(0,1\right).\)