Questão 2090641

A massa total, M, e as coordenadas do centro de massa \(C=(\bar x, \bar y, \bar z)\) de uma superfície curva, S, de densidade variável p(x, y, z) podem ser calculadas pelas seguintes relações:

\(M=\int_{ }^{ }\int_s^{ }\ p\left(x,y,x\right)\ dS,\)

\(\overline{x}\ =\ \frac{1}{M}\int_{ }^{ }\int_s^{ }xp\ \left(x,y,z\right)dS,\)

\(\overline{y}\ =\ \frac{1}{M}\int_{ }^{ }\int_s^{ }yp\ \left(x,y,z\right)dS,\)

\(\overline{z}\ =\ \frac{1}{M}\int_{ }^{ }\int_s^{ }zp\ \left(x,y,z\right)dS.\)

Portanto, a soma do valor das três coordenadas do centro de massa do hemisfério x² + y² + z² = 9, z \(\geq\) 0, de densidade p (x, y, z) = z, em unidades de massa, vale: