Questão 1375989

Seja \(\left\{P\theta|\theta\ \epsilon\ \Theta\right\}\) uma família exponencial k-paramétrica dada por p(x, \(\theta\) ) = {exp \(\left[\sum_{i=1}^nc_i(\theta)T(x)=d_i(\theta)=S(x)\right]\) } \(I_A\) \(\left(x\right)\) . Suponha que a variação de c = [c1( \(\theta\) ), c2( \(\theta\) ), ... , ck( \(\theta\) )] tenha um interior não vazio. Então, T(x) = [T1(x), T2(x),..., Tk(x)] é uma estatística suficiente e completa.

Seja [X₁, X₂, .... , X_n] uma a.a. da densidade f(., \(\theta\) ), e seja S₁ = s₁(X), S₂ = s₂(X), ... ,S_k = s_k (X) um conjunto de estatísticas conjuntamente suficientes. Seja a estatística T = t(X) um estimador não viciado de q( \(\theta\) ). Defina T’ por T’ = E[T|S₁,S₂, ..., S_k], então: T’ é uma estatística e é uma função de estatísticas suficientes S₁, S₂, ..., S_k.

Se T(X) é uma estatística suficiente e completa e S(X) é um estimador não-viciado de q( \(\theta\) ), então T*(X) = E[S(X)|T(X)] é um estimador UMVU de q( \(\theta\) ). Se \(V_{\theta}\) (T*(X) < \(\propto\) \(\forall\) \(\theta\) \(\epsilon\) \(\Theta\) , T*(X) é o único estimador UMVU de q( \(\theta\) \(\theta\) ).

Seja [X₁, X₂, ... , X_n] uma a.a. de uma população N(µ, \(\sigma\) ²) onde os parâmetros são desconhecidos. A estatística T(x) = \(\left[\sum_{i=1}^nX_i,\sum_{i=1}^nX_i^2\right]\) é suficiente e completa.